Alexander Kuklev (akuklev) wrote,
Alexander Kuklev
akuklev

Category:

Мысли

Для любого измеримого пространства с выделенным классом мер (в частности, для любого многообразия) существует каноническая нормированная алгебра в существенном ограниченных комплексных функций, которая обозначается L(M). Эта алгебра всегда является коммутативной W*-алгеброй. С друой стороны, любая коммутативная W*-алгебра является L(X) для некоторого X. Таким образом, W*-алгебры являются элегантным способом кодировать пространства вместе с их структурой измеримости.

Из сказанного естественно вытекает, что свойства измеримых пространств можно формулировать на языке W*-алгебр, причём во многих случаях от них не требуется коммутативности. Этот факт служит мотивацией некоммутативной теории меры, т.е. теории W*-алгебр общего вида.

Меры на пространстве представляются как веса алгебры W*-алгебры. Имея вес μ, такой что μ1 = 1, можно быстро изготовить из алгебры аналог пространства L2(X, μ). Для этого достаточно взять все элементы алгебры, определить скалярное произведение между ними при помощи (a, b) = μ(a*b), факторизовать результат (как векторное пространство) по подпространству всех x таких что (x, x) = 0, пополнить топологически по норме |x| = √(x, x). Получится отличное гильбертово пространство, на которое исходная алгебра действует естественным образом. В коммутативном случае требование μ1 = 1 излишне (можно просто выкинуть все элементы x такие что μx бесконечно), а действие элементов алгебры на элементы гильбертова пространства: поточечное умножение.

В некоммутативном случае в если взять W*-алгебру M и некий вес μ, можно канонически изготовить одномерную группу U(t) автоморфизмов алгебры («поток времени») и антилинейный оператор J «обращения времени». Названия мотивированы примерами из квантовой теории поля, где у W*-алгебр наблюдаемых специальным образом изготовленные веса в самом деле пораждают таким образом временную эволюцию и отражение.

Заманчиво предположить, что на языке некоммутативных W*-алгебр можно кодировать лоренцевы и/или симплектические многообразия:
Если алгебра M соответствует некоему лоренцеву многообразию естественно сказать, что J выделяет нам расслоение на пространственноподобные слои, а потом времени определяет связность между этими слоями.
Если M как бы соответствует некоему симплектическому многообразию, то J — выбор лагранжевого расслоения, а поток времени связность между слоями.

Из примера в квантовой теории поля видно, что выбор расслоения и гамильтониан закодированы в весе μ. А что требуется для записи динамики, кроме выбора расслоения и гамильтониана? Скобка Пуассона! Именно она должна быть закодирована в самой алгебре, вероятно в форме комутатора, т.к. в коммутативных алгебрах накакой динамики нет. Для начала стóит посмотреть, что происходит, когда алгебра ещё имеет обыкновенное подлежащее пространство (т.е. произведение поточечное), но уже некоммутативна. Возьмём L(ℝ2)⊗M, где M — алгебра сплит-кватернионов, т.е. комплексных матриц вида . Они формируют по умножению группу SL2(ℝ).
В этой алгебре есть очевидный претендент на роль антилинейнорго идемпотентного оператора обращения времени: (инволюция сплит-кватернионов, т.е. естественная инволюция на SL2(ℝ)). Другой хороший кандидат на роль элемента лёгкой некоммутативности — M = ℂ ⊗ℍ, алгебра бикватернионов. Тоже ассоциативная некоммутативная *-алгебра над ℂ с дополнительной антилинейной (над ℂ) инволюцией.

To be continued...
Subscribe

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…

  • 36

    Традиционный деньрожденный пост. Год выдался необычный. :)

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 2 comments