Alexander Kuklev (akuklev) wrote,
Alexander Kuklev
akuklev

Category:

Добавка

А ещё тем, кто прочитал следующий пост могу дать небольшую добавку про перенормировки. Вот я сказал, что можно определить «обобщённые конфигурации поля», как функционалы на компактных тестовых функциях. Разумеется, эти функционалы (как и любые другие распределения) вообще говоря нельзя перемножать поточечно. Умножение работает в том частном случае, когда сингулярные носители двух распределений не пересекаются. В ситуации, когда сингулярные носители пересекаются в изолированных точках, делу можно помочь, применив тестовые функции и форму объёма. Начинаем с того, чтобы перемножать не распределения, а последовательности аппроксимирующих их функций со всё уменьшающимся носителем. Затем вспомним о физической стороне вопроса: если измерять напряженность получающегося поля “грубым прибором”, то есть измерять его грубой тестовой функции с носителем много больше носителей наших аппроксиматоров, то результат не должен зависеть от объёма носителей аппроксимантов. Если он растёт (а он растёт по некому степенному закону, вообще говоря неизотропно), то по мере построения предела, результат нужно перенормировать, используя форму объёма. В весьма общем случае можно показать, что у этого процесса есть fixed point, причём только один. Именно он и называется тогда эффективным произведением распределений.

Многие ошибочно считают, что идея перенормировок возникла и применяется только в квантовой теории поля, что совершенно ошибочно. Уже в классической формулировке электродинамики у точечного электрона должна была бы быть энергия самовзаимодействия, равная бесконечности. Это проблема возникает из-за попытки наивно возвести в квадрат дельта-распределение. Использование эффективного произведения приводит полному решению этой проблемы.

Но всё же эффективное произведение работает только в случае, когда сингулярные носители пересекаются в изолированных точках. А как же быть с остальными случаями?
Выясняется, что среди обобщённых конфигураций полей можно выделить обширный класс потенциальных решений: т.н. причинные конфигурации. Уравнение Dξ ξ = 0 можно рассматривать в малой окрестности данной точки, как линейное волновое уравнение, и соответственно можно потребовать, чтобы решение не содержало волновых составляющих, движущихся быстрее скорости света, что верно как в классическом, так и в квантовом случае. Кроме того, в малой окрестности любой точки это уравнение обратимо по времени, что делает решение также симметричным по времени. Перемножая два таких распределения, мы можем подбирать антисимметризованные последовательности аппроксимантов, что позволяет определить причинно-симметризованное эффективное произведение
на всём векторном пространстве причинных распределений, превращая его в коммутативную (но неассоциативную) алгебру. (С её элементами у «тестовых функций» всё ещё есть каноническое спаривание, не смотря на то, что законы координатного преобразования композитных полей зачастую очень и очень сложны.) Тут следует заметить, что для выделения класса таких конфигураций существенным образом используется фиксированная лоренцева метрика, так что квантователи гравитации снова в пролёте. И квантователи конформных теорий поля тоже, потому что там нет фиксированной формы объёма.

Дорогие слушатели спрашивают, для чего в народном хозяйстве воспонадобилась такая алгебра. А понадобилась она уже действительно в квантовой теории поля. В классическом случае лагранжиан по большому счёту нужен только для того, чтобы найти уравнения движения. Если у нас уже есть оператор Дирака, то лагранжиан никому и не сдался. Увы, в квантовых теориях поля всё хуже. Поэтому нам нужно уметь строить лагранжиан, как минимум, как полином от исходных полей и их производных. В идеале хорошо бы иметь на этой алгебре исчисление аналитических функций, а оно в каком-то смысле есть. Если аналитическую функцию разложить в ряд тейлора, а затем вместо аргументов подставить некие элементы нашей алгебры, возникнет неопределённость: произведение у нас неассоциативно, нужно выбрать порядок или как-то симметризовать. Выясняется, что для экспоненциальной функции существует один и только один способ симметризации, такой что экспонента причинного функционала, посчитанная до n-ного члена тоже является причинным функционалом. Вся комбинаторика, связанная с правильным (единственно возможным) вычислением экспонент полиномов полей и их производны блестяще проанализирована в работе Конна-Краймера и связана со структурой подлежащих алгебр Хопфа. К сожалению известно, что получаемые ряды асимптотические и на самом деле не сходятся. Найти правильное определение исчисления функций или хотя бы просто экспоненцирования на данной алгебре — давно открытый вопрос матфизики, эквивалентный вопросу поиска правильного определения интеграла Фейнмана. Вопрос ещё и в том, что значит «правильное», однако зацепки тут есть: для ряда «игрушечных» квантовых теорий поля известны и лагранжианы, и точные уравнения движений, полученные совершенно другими способами, без привлечения лагранжиана. Экспоненцирование в данной алгебре и интеграл Фейнмана должны быть определёны в точности таким образом, чтобы интегрировать там дифференциальные уравнения движения.
Subscribe

  • (no subject)

    Встретил фотографию толпы футбольных фанатов, и она меня скорее напугала, у меня уж точно нет желания быть там среди них. Но внезапно я понял, что…

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments