Alexander Kuklev (akuklev) wrote,
Alexander Kuklev
akuklev

А разгадка одна...

Классические теории поля на искривлённом пространстве-времени состоят из следующих ингридиентов:
1) Лоренцево многообразие (M, g) — «подлежащее пространство-время».
2) Расслоение F («расслоение полей») над M, являющееся тензорным произведением конечного числа спинорных расслоений. Эти расслоения по одиночке называют «фотонным полем», «электронным полем» и т.д., сечения этих расслоений называют конфигурациями соответствующих полей, а сечения расслоения F — общей конфигурацией. Пространство общих конфигураций обзовём Ф.
3) Отображение D: Ф → «лин. дифф. оператор 1. порядка, действующий на Ф», такой что действие этого оператора в точке р зависит только от конфигурации поля в этой же точке, а квадрат главного символа, опщуенный на M — метрика. Это отображение называется полным оператором Дирака и выделяет среди всевозможных конфигураций полей физические решения при помощи уравнения движения Dξ ξ = 0. То есть, если в какой-то точке x выбрать тетраду направлений (t, x, y, z), то уравнение движения Dξ ξ = 0 скажет там, как посчитать ∂tξ, из значения и производных ξ в других «пространственных» направлениях в этой же самой точке. Если D не зависит от ξ, уравнения движения получаются линейными уравнениями первого порядка (волновыми), а решения скучными (свободные поля).

Стартовая точка некоммутативногеометрического подхода к теории поля вот в чём:
   На M целиком есть клёвая комплексная С*-алгебра A, действительные элементы которой сочетают в себе функцинальность координат на многообразии и локальных фреймов в F, и уважая при этом спин-структуру. Таким образом спаривание действительных компактных элементов этой алгебры (тестовых функций) с сечениями F даёт нам гладкую функцию на M, которую можно проинтегрировать и получить число: «измерить поле в конкретных координатах в конкретной сколь угодно малой области с заданным размыванием». Кроме прочего, можно блестяще красиво учесть калибровочные симметрии (буде они наличествуют), наравне со внешними, соответствующим образом модифицировав алгебру.

Можно, наверное, даже переопределить модуль сечений, как пространство линейных функционалов на таких «тестовых функциях», что круто потому что во-первых он будет сразу калибровочно-инвариантный без фиксации калибровки руками, а во-вторых потому что таким образом допускаются сингулярные сечения, имеющие физический смысл даже в классических ТП, не говоря уже о квантовании. В квантовом случае тестовые функции размазывают операторозначные распределения и в результате получаются наблюдаемые. Внимание-внимание, при переходе от сечений F к «обобщённым сечениям» существенно используется форма объёма, так что решить обойтись как-нибудь без фиксированной метрики (например если хочется гравитацию поквантовать), то так не выйдет.

Anyway, алгебра A и пространство Ф, элементы которых можно спаривать, уже содержат в себе всю информацию об M и F, про которые можно забыть. В свою очередь, D содержит всю информацию о метрике, причинной структуре и динамике. Ален Конн придумал делать из таких штук спектральные тройки (Ф, A, D).. но.. не совсем. В общем, для того, чтобы то, что я тут написал, было спектральной тройкой, надо чтобы Ф было гильбертовым пространством, на котором A действует как операторная алгебра, а не просто какое-то линейное пространство, с которым у элементов A есть спаривание. Да и от D требуют дополнительных свойств, которые в нашем случае не наличествуют.

Напомню, что хоть расслоение полей F и векторное и в каждой своей точке наделено псевдоскалярным произведением, но Ф целиком пространством Крейна, конечно же, не является. Главным образом потому, что в физических случаях сечения-решения (те самые фотоны-электроны) протяжены во времени бесконечно, и как под ними не интегрируй, конечного числа не получишь. Ну и кроме того, в том как слепить из точечных псевдоскалярных произведений глобальное, скрыт огромный градус произвола.

В то же время, если выделить в M пространственно-подобное сечение S (риманово многообразие) и ограничить Ф на него, то ограничение канонически становится гильбертовым пространством. Более того, точечные нормы отдельных полей оказываются калибровочно-инвариантны и допускают привычную трактовку «количества частицы» в данной точке.
Именно этому случаю соответствует формализм спектральных троек (H, A, D). В качестве гильбертова пространства конфигураций H берётся ограничение Ф на S, в качестве алгебры A алгебра, порождённая ограниченными координатными функциями на S, в качестве D оператор Дирака, проистекающий из метрики S. Только это совсем другой оператор Дирака, и какое отношение он имеет к динамике на всём M я не понимаю.

Если сечениям соответствуют спектральные тройки, то что же соответствует целому?
Subscribe

  • (no subject)

    Встретил фотографию толпы футбольных фанатов, и она меня скорее напугала, у меня уж точно нет желания быть там среди них. Но внезапно я понял, что…

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments