Alexander Kuklev (akuklev) wrote,
Alexander Kuklev
akuklev

Ещё немножечко об интересном.

Напомню, что категорией называется класс C, снабженный правилом, сопоставляющим каждой паре представителей этого класса множество “переходов” между ними. Дополнительно требуется, чтобы для каждого X существовал нулевой переход id: X → X и чтобы для двух переходов f: A → B и g: B → C можно было строить их (ассоциативную) композицию gf: A → C.

Категория называется малой, если класс её объектов задан множеством. Малая категория называется точной (терминология Лавера), если равенство элементов задающего её множества равносильно их неразличимости при помощи переходов. Категория называется группоидом, если все переходы обратимы.

Лавер ввёл понятие пространства длин. Он ввёл его категорно. Т.е. пространство длин это точная категория (более того, точный группоид), обладающая рядом свойств. Эти свойства, однако, удобнее вводить всё-таки на алгебраическом языке. Пространство длин — это (достаточно регулярное) частично-упорядоченное множество с минимальным элементом 0 и максимальным элементом ∞, снабжённое операцией +, совместимой с порядком и выполняющей аксиомы коммутативного моноида. Эталонное пространство длин — луч положительных действительных чисел с бесконечностью [0, ∞], снабжённый обычной операцией сложения. Ещё он ввёл понятие инволютивного пространства длин. Это соответственно то же самое с тем отличием, что операция + не обязательно коммутативна, однако дополнительно дана такая инволюция *, что (a + b)* = b* + a*. Коммутативные пространства длин являются частным случаем инволютивных с тривиальной инволюцией.

Обобщённым метрическим пространством называется группоид, обогащённый над некоторым пространством длин. Т.е. это множество объектов, называемых точками, таких что для каждой пары точек существует множество переходов между ними и каждому переходу сопоставлена длина, причём при соединении переходов их длины складываются. Соответственно некоммутативным метрическим пространством называется обогащённая над некоторым инволютивным пространством длин точная категория. Т.е. мы отказываемся от требования, что пути обратимы, а если два перехода f и g взаимнообратны, то требуем, чтобы length(f) = length(g)*. Показано, что всякая (обычная) топология порождается обобщённой метрикой на множестве.

Теория обобщённых метрических пространств обобщает идеи топологии и теории доменов. Некто Копперман в рамках указанного формализма ввёл понятие аппроксимируемых пространств, т.е. пространств, точки которых могут быть эффективно выделены итеративным сужением области вокруг них. Он же высказал гипотезу, что аппроксимируемые обобщённые метрические пространства формируют топос. Это очередной кандидат на роль универсального топоса «без сюрпризов», достаточно большого, чтобы делать в нём всю нужную в естественных науках математику.
Subscribe

  • (no subject)

    Встретил фотографию толпы футбольных фанатов, и она меня скорее напугала, у меня уж точно нет желания быть там среди них. Но внезапно я понял, что…

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments