Alexander Kuklev (akuklev) wrote,
Alexander Kuklev
akuklev

Category:

Дисперсионное соотношение и переход от поля к частицам.

Дисперсионное соотношение рассказывает нам о том, как движется (в первую очередь, как «расплывается» при движении в пространстве).


Пусть у нас есть пространство и гамильтониан, симметричный относительно непрерывных или дискретных (кристалл) движений пространства. Соответственно, есть векторный оператор импульса, коммутирующий с гамильтонианом. Можно показать, что (в случае маломальски приличного гамильтониана) пространство состояний системы делится на ортогональные компоненты -- связанные состояния и свободные состояния. Базис первого составляют собственные векторы гамильтониана с импульсом нуль. Базис второго (в непрерывном случае, несобственный базис, но это неважно) -- собственные векторы оператора импульса (по совместительству собственные операторы гамильтониана). Если наша система имеет n компонент (например, «частица» со спином (n-1)/2 или n скалярных частиц), такой базис будет разумеется для каждой компоненты.

Раз так, возьмём любое вероятностное распределение с по-существу компактным носителем в пространстве -- это наша желаемая плотность вероятности частицы. Возьмём поточечно квадратный корень, разложим по указанному выше базису и совершим параллельный перенос свободных компонент в пространстве импульсов так, чтобы мат-ожидание импульса стало равным p. Этим мы промодулируем наше пространственное распределение. В итоге мы получили локализованное желаемым образом состояние частицы с заданным средним импульсом.

Теперь можно «включить время» и посмотреть, как всё это будет двигаться. А двигаться оно будет следующим образом: стационарные компоненты будут просто вращаться в фазовом пространстве, а свободные двигаться со скорстью, соответствующей своей энергии E(p).

Вот это E(p) и называется дисперсионным соотношением. В случае безмассовой частицы в вакууме (напр. фотона) все компоненты будут двигаться одинаковой скоростью, частица вовсе не будет расплываться. Для массивной частицы можно рассмотреть как корректное релятивистское дисперсионное соотношение, так и его нерелятивистское приближение. В любом случае частица будет расплываться в пространстве довольно быстро. В нерелятивистском приближении дисперсионное соотношение -- парабола.

Интересно то, что таким образом ведь можно анализировать не только свободные частицы в вакууме, но и гораздо более хитрые штуки. Так например можно рассмотреть узлы протяженного кристалла. В разумном приближении это переодическая система гармонических осцилляторов. При рассмотрении в этом базисе, обычно используются импульсы и положения отдельных атомов и их сдвиги, однако симметрия с пространстве позволяет ввести вот эти вот обще-пространственные импульсы и рассмотреть систему в этой системе координат.

Выяснятся следующие вещи:
1) Базисом пространства свободных состояний будут согласованные колебания узлов в заданных направлениях.
2) Т.к. исходно узлов «много», каждое собственное состояние оператора импульса тоже имеет огромную кратность -- степени свободы никуда не делись. Но мы можем расслоить базис свободных состояний и получим «много» независимых компонент колебательного поля узлов.
3) Комбинация согласованных колебаний, изготовленная по рецепту данному выше, будет выглядеть и вести себя как пристойно локализованная частица с импульсом. Эти частицы называются фононами. Дисперсионное соотношение у них при малых энергиях напоминает ситуацию фотона, при больших огоризонталивается. Точное поведение очень сильно зависит от структуры кристалла. Каждый из фононов будет жить в своём «слое» (компоненте колебательного поля) и никак не взаимодействовать с остальными. Проявлением взаимодействия можно считать только интерференцию, которая на самом деле является артефактом перехода от фононного базиса назад к базису положений узлов.

Если совершить предельный переход от дискретной кристаллической структуры к непрерывной, мы получим в точности квантовую теорию поля свободных векторных безмассовых частиц. (Если подавить продольную поляризацию, получим в точности КТП свободных фотонов.)

Ещё более тонкий пример применения -- переход от сложной системы взаимодействующих частиц к полю, а затем обратный переход к корпускулярной картине, но уже со свободными (невзаимодействующими) в первом приближении частицами, только с новым дисперсионным соотношением. Машенерия, при помощи которой такой переход осуществляется, называется преобразованием Боголюбова.

А грубой мотивацией для этого глубокого подхода является классическая штука из физики твёрдого тела -- переход от ферми-жидкости взаимодействующих электронов к ферми-газу свободных псевдо-электронов. Представим себе, что у нас есть электронная жидкость в кристалле или в ящике. Плавают там между кристаллическими узлами (т.е. в периодическом потенциале) или ящике электроны, друг от друга отталкиваются. Отвратительно сложная система.

Идея следующая: Если предположить, что электроны в результате взаимного отталкивания распределятся более или менее равномерно. Соответственно мы можем в хорошем приближении посчитать плотность состояний и дисперсионное соотношение. Теперь если мы возьмём электрон с очень узким распределением импульса, вот буквально p и чуточку вокруг, то для изучения его динамики нам достаточно рассмотреть дисперсионное соотношение только вблизи p. Вблизи p мы можем аппроксимировать дисперсионное соотношение параболой и получится, что нас на руках как бы свободный электрон, только масса у него «особенная» и шкала энергии сдвинута (т.е. на внешний потенциал экранируется или наоборот усиливается электронами-коллегами).

Эта, честно признаем, вилами по воде писаная конструкция становится в точности корректной в термодинамическом пределе. В самом деле, раз мы знаем плотность состояний, значит можем мы нарисовать смешанное состояние этой милой системы в термодинамическом равновесии при заданной температуре. А теперь мы возьмём и изымем оттуда ровно один лехтрон. (Остальные так и остались в термодинамическом равновесии.) И посмотрим мы, на нелёгкую жизнь этого электрона в эффективном потенциале окружающей его кучи. Получится, что поле в среднем со всех сторон равное, но электрон движется сквозь вязкую (или наоборот гиперподдатливую) массу, в результате чего его эффективная масса увеличивается (или наоборот уменьшается). Получаем свободный электрон (с коллегами он уже не взаимодействует), только с новой массой и слегка заэкранированный. Всё в точности, как описано выше.
Subscribe

  • Towards Univalent Construction Calculus

    Modern constructive Martin-Löf Type Theories (MLTTs) are exceptionally expressive and convenient languages for mathematical reasoning. By “modern”…

  • (no subject)

    Встретил фотографию толпы футбольных фанатов, и она меня скорее напугала, у меня уж точно нет желания быть там среди них. Но внезапно я понял, что…

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 5 comments