Alexander Kuklev (akuklev) wrote,
Alexander Kuklev
akuklev

Category:
Так вот, со времён Ньютона утекло не мало воды. Модель Ньютона несколько раз расширяли для включения новых аспектов реальности, однако это не было революционным, это была эволюция. Каждая новая модель включала предыдущую как свою часть или частный случай. Но спустя два века случилось две революции.

В ходе первой Эйнштейн придумал совсем новую математическую модель мира, и сумел показать, что она верна.
Но тогда ведь старая модель Ньютона должна быть ошибочна? Как?
Не совсем. Модель Ньютона верна в границах своей применимости. Большой заслугой Эйнштейна было ещё и то, что он показал, при каком условии его механика в сводится к Ньютоновской механике.
«При скоростях всех объектов ниже такой-то, неточность Ньютоновской механики не превысит такой-то доли процента, причём по мере уменьшения скоростей ошибка быстро стремится к нулю.»

Вторая революция касалась квантовой механики. Это совсем-совсем другая математическа модель мира. И вот по поводу того, как именно она сводится к ньютоновской или релятивистской механике, всё гораздо менее прозрачно. В стандартных университетских курсах (даже очень хороших) ограничиваются теоремой Эренфеста (“для матожиданий наблюдаемых выполняется уравнение Гамильтона и в частности верен закон Ньютона”), ведущим членом интеграла Фейнмана (“ведущий член интеграла Фейнмана является решением уравнения Эйлера-Лагранжа для классического действия, и в частности приблизительно верны принцип наименьшего действия и геометрическая оптика”), да семиклассическим приближением (“в WKB-приближении уравнение Шрёдингера сводится к уравнению Гамильтона-Якоби, и в частности верна волновая оптика”).

А зря. Потому что детальный анализ этого аспекта приводит к массе более глубокого понимания. В действительности, чтобы показать это, нужно вначале найти такой формализм, в рамках которого можно описать как обычную механику, так и квантовую, так чтобы переход от одной к другой можно было осуществить непрерывной деформацией квантовых структур в классические. А затем нужно показать, что эта деформация действительно эффективно имеет место при приближении неких характерных параметров системы (размера и когерентности) к границам применимости старой теории.

В качестве «старой теории» целессобразнее всего взять гамильтонову механику в ансамблевой формулировке. Т.е. динамику вероятностных распределений на фазовом пространстве под действием уравнения Лиувилля, ибо очевидно, что точечной механики нам не хватит, КМ имманентно неточечна. (Эта теория имеет милейшее свойство, не присущее точечной механике, хоть Гамильтона, хоть Лагранжа, хоть Ньютона: в ней может спонтанно нарушиться временная симметрия — эффект, который мы со всей очевидностью наблюдаем в окружающем нас мире.)

Состояние системы в этой теории — вероятностное распределение на фазовом пространстве. Фазовое пространство — симплектическое многообразие общего вида. Динамика определяется симплектической структурой и гамильтонианом — скалярной функцией на фазовом пространстве. Наблюдаемые (в частности, координаты и импульсы) — тоже скалярные функции на фазовом пространстве. Измерить матожидание наблюдаемой, значит помножить её поточечно на распределение-состояние и проинтегрировать.

В качестве новой следует взять квантовую механику в формулировке матриц плотности (т.к. именно она соответствует луивиллевой механике). Для матрицы плотности можно найти очень удобное представление в виде квазивероятностного распределения. Для начала заметим, что матрица плотности ρ, будучи эрмитовым оператором, полностью характеризуется матричными элементами <x1|ρ|x2>, где x — обобщённые координаты (по три элемента на каждую спиновую компоненту каждой частицы). От двух координат мы можем перейти к их разности и полусумме, введя функцию σ(x, s) = <x + s/2|ρ|x - s/2>. Если провести преобразование фурье этой функции по аргументу s, мы получим искомое представление ρ(x, p) = (1/2πħ) ∫ σ(x, s) exp[-ips/ħ] ds.
(Это представление называется представлением Вейля.)
Преобразование Фурье обратимо, так что мы получаем настоящее представление матрицы плотности. Причём очень наглядное представление. Следует заметить, что если пользоваться матричными элементами <p1|ρ|p2> и в дальнейшем производить преобразование Фурье по разности p1 и p2, мы полчим в точности то же распределени, так что на этом уровне квантовомеханическую симметрию между x и p мы никак не разрушаем.

Несложно обнаружить, что это распределение является действительным. Однако оно в общем случае не является положительным. Кроме того, его значения не могут превосходить по модулю 1/2πħ, что эквивалентно соотношению неопределённостей Гейзенберга (распределение положения-импульса не может иметь слишком сконцентрированным, а именно не может носителя площадью меньше 2πħ). По мере увеличения ħ (т.е. эффективно по мере увеличения характерных размеров системы) исчезает это ограничения, а по мере снижения когерентности уменьшается отрицательная часть. В пределе множество допустимых ρ совпадает со множеством допустимых классических состояний (т.е. вероятностных распределений).

Теперь перейдём к нашим наблюдаемым. Квантовомеханические наблюдаемые (операторы на нашем пространстве) можно точно также привести в представление Вайля. Поточечное умножение на состояние и последующее интегрирование как и прежде даст матожидание соответствующей наблюдаемой. И, подарок-подарок, для наблюдаемых, зависящих только от координат или только от импульсов, соответствующее представление будет классическим. Т.е. f(X) -> f(x), f(P) -> f(p).

Тут нужно, однако заметить, что хоть поточечное умножение a·b и даст нам матожидание Tr(AB), но вот произведение операторов таким образом не работает! a·b ≠ AB. Это только интеграл под ними одинаковый, а так для получения произведения операторов нужно применить хитрую операцию, называемую звёздочкой Мояля, достаточно неприятным в обращении объектом общего вида a ∗ b = ab + O(ħ). Лучше представлять себе наблюдаемые как псевдодифференциальные операторы вида (a *) над состояниями. Если в классическом случае операторы импульсов и координат действовали только «вдоль» своей координаты на многообразии, ничего не смешивая, в квантовом случае они «смотрят» по сторонам, причём сила смешивания снова определяется параметром ħ. Вот как выглядят операторы положения и импульса в дифференциальном представлении:
P = p· + iħd/dx
X = x· - iħd/dp

Коммутатор двух наблюдаемых, на уровне представлений Вейля сводится к скобке Мояля:
[A, B] = iħ {a, b}

Скобка Мояля в свою очередь по мере уменьшения ħ быстро (O(ħ²)) сходится к скобке Пуассона, вот откуда берутся известные канонические коммутационные соотношения операторов. Если бы они были не верны, деквантизация (т.е. переход от квантовой системы к классической при увеличении размеров и уменьшении когерентности) не мог бы работать.

Кроме того, мы немедленно обнаруживаем совпадение динамики.
Уравнение Лиувилля
dρ/dt = {H, ρ}
и уравнение фон Неймана
dρ/dt = 1/iħ [H, ρ]
совпадают!

В качестве замечательных и приводящих ко многим прозрениям упражнений, рекомендуется анализ в рамках этого формализма теоремы Эренфеста, свободной частицы, одномерного фонона, гармонического осциллятора и атома водорода, с последующей симуляцией изменений распределений при увеличении ħ и декогеренции.

В следующем номере я, возможно, расскажу про то, как всё это безобразие выглядит в релятивистком случае, про когерентные состояния и выделение естественного базиса макроскопических фазовых координат для произвольной заданной КТП. То есть, про деквантизацию ab initio.
Subscribe

  • Towards Univalent Construction Calculus

    Modern constructive Martin-Löf Type Theories (MLTTs) are exceptionally expressive and convenient languages for mathematical reasoning. By “modern”…

  • (no subject)

    Встретил фотографию толпы футбольных фанатов, и она меня скорее напугала, у меня уж точно нет желания быть там среди них. Но внезапно я понял, что…

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 2 comments