Alexander Kuklev (akuklev) wrote,
Alexander Kuklev
akuklev

Самая базовая из мыслимых алгебраических структур — множество. Все структуры снабжены определёнными операторами и отношениями. Среди последних всегда присутствует отношение равенства. Множество — структура, где задано только это отношение.
Т.е. множество — это "совокупность различимых объектов".

(Само слово "множество" мне не нравится. У французов множества называются "ensemble", у англичан — "set". По-русски это называлось бы "набор". Очень жаль, что терминология сложилась неудачно, но менять уже поздно.)

Естественное обобщение множеств — т.н. мультимножества. Во множестве элемент либо присутствует, либо нет, а в мультимножестве он может присутвовать N раз. По-русски мультимножество следовало бы называть, например, описью. Мультимножества естественно возникают из множеств при идентификации объектов по определённому признаку:

{желтое яблоко, яблоко с пятнышком, груша}/«тип фрукта» = {{яблоки: 2, груши: 1}}

Всякое множество можно считать мультимножеством, где каждый объект присутствует 1 раз.
* * *

Опыт показывает, что «большие» множества (типа множества всех положений лифта или множества всех положений маятника) — это не просто множества. Отдельные объекты в них представляют относительно мало интереса. Интересует не столько различимость состояний, сколько их близость. Дело тут в том, что мы не можем (даже теоретически) в точности «измерить», в каком положении находится маятник в данный момент времени, однако мы можем (теоретически) измерить это с любой желаемой точностью. Множество, снабженное подходящим "понятием близости" объектов в нём, называется (локально-компактным хаусдорфовым) топологическим пространством. Понятие близости индуцирует различимость объектов: состояния А и Б считаются разными тогда и только тогда, когда мы можем различить их при помощи измерения.

Выясняется, что обычное множество — это просто топологическое пространство, объекты которого изолированы. Топлогическое пространство — естественное обобщение понятия множества за пределы считания яблок. Свойства конечных множеств обобщаются на случай компактных пространств.

(Это обобщение прекрасно работает и для более сложных алгебраических структур. Теория топологических групп, например, включает обычную теорию групп как частный случай для дискретных топологий)

На этом пути возникает и естественный аналог мультимножества: топологическое пространство с борелевой мерой. Однако если обычное множество можно автоматически считать мультимножеством, где каждый элемент встречается один раз, с топологическими пространствами этот трюк в общем случае не проходит.
Однако он проходит в ряде частных случаев. Если вот например взять пространство состояний (фазовое пространство) Ф определённой физической системы, обнаружится, что на нём существует естественная мера: фазовый объём. Делая редукцию по определённым признакам мы получаем совокупность пространств меньшей размерности с мерами на них. Так работает термодинамика.
Ф/«энергия» = {ФE с микроканонической мерой на них | E допустимая энергия}
Ф/«температура» = {ФT с канонической мерой на них | T допустимая температура}
...

Ну, а в последние лет 20-30 выяснилось, что есть для множеств и мультимножеств ещё гораздо более ёмкие обобщения: С*-алгебры и W*-алгебры с выделенным проектором соответственно. В коммутативном случае они соответствуют предыдущим обобщениям, а в общем случае ведут себя крайне интересно и вмещают квантовую механику.
Как там работают вещи типа термодинамики мне ещё пока не понятно. А не мешало бы понять.
Subscribe

  • (no subject)

    Встретил фотографию толпы футбольных фанатов, и она меня скорее напугала, у меня уж точно нет желания быть там среди них. Но внезапно я понял, что…

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 2 comments