Alexander Kuklev (akuklev) wrote,
Alexander Kuklev
akuklev

Category:

Модальная логика.

В прошлых сериях мы обсудили основания математики. Мы выяснили, что такое формальный язык и доказательство; узнали, что вся современная математика была поставлена на верифицируемую (лишенную субъективности проверки) основу, что была доказана непротиворечивость основ математики и хорошо понята их неполнота. Ещё мы поняли, что теория множеств — это идеализация, помогающая строить модели — в первую очередь модели для естественных наук.

Назовём мир теории множеств платоническим раем. В нем нёту объектов, в нем есть только значения. В смысле есть values и нет objects. В чём разница?
Вот яблоко — это яблоко. Его можно потрогать. Если у вас два разных яблока — это два разных яблока. Вас можно спросить — «а сколько у тебя яблок» — и вы скажете, что два. Можно поинтересоваться, сколько в мире вообще есть яблок и всё это будет иметь смысл. Яблоко — это объект.
А вот если у вас есть число 5 — это значение, с ним всё совсем иначе. Во-первых число пять не бывает «у вас». Оно бывает только "вообще". Во-вторых, вопрос «а сколько есть чисел пять?» — вопрос идиотский и бессмысленный. И даже сам вопрос «а существует ли число пять?» начисто лишён привычного смысла. В математике просто нету понятия «существует ли в принципе». Слово «существует» используется в совершенно другом смысле. Вот в таком: «Существует ли натуральное число, равное 4 + 1» — да, существует. «А существует ли натуральное число, равное 3/2» — нет, не существует. Т.е. мы интересуемся, являются ли указанные нами свойства взаимоисключающими. В первом случае эти свойства «является натуральным числом» и «равняется 4 + 1». И в данном случае они не являются взаимоисключающими. Во втором — являются. Согласитесь, ничего общего с существованием яблока.

Вопросом существования яблок в своё время занялся математик Крипке. Но прежде чем я расскажу, как он решил этот вопрос, надо рассказать, откуда у нас в голове берутся объекты.




Вот у нас на руках появилась физическая модель. Сложная как чёрт и непрерывная. Даже если в простой классической картине мира, не вдаваясь в подробности теорий относительности и квантовой механики... Перед нами трехмерное пространство, наполненное полями. Т.е. каждой его точке сопоставлены векторы электрического, магнитного и гравитационного поля. Во всём этом в огромном количестве плавают частицы, двигаясь под действием силы полей. Вот у нас в комнате стоит стул, а вокруг него воздух. Но между ними нет никакой пространственной границы. Всё размазано. Нету никаких объектов, даже отдалённо. Только числа в пространстве. Мно-о-ого чисел, и что самое страшное, если вдаваться в подробности квантовой механики, ещё и в бесконечномерном пространстве. Отвратительно, правда? Откуда в этом месиве значений взяться нашим замечательным объектам, которыми мы оперируем в голове?

Через органы чувств — глаза, уши и т.д. — к нам в мозг поступает поток отдельных значений — из ушей звуковые семплы, из глаз картинки. Пока мы рассматриваем моментальный временной срез — перед нами только значения. Концепция объекта возникает из нашего восприятия времени. Наш мозг умудряется отфильтровать из потока входящей информации куски, которые «постепенно эволюционируют» во времени. Т.е. часть их свойств меняется, а часть остаётся постоянной. Мы отфильтровываем из большого входящего потока значений значения, у которых часть свойств не меняется. Получившуюся последовательность значений мы называем объектом. Отдельные значения из этой последовательности мы называем состоянием объекта на такой-то момент, а неизменную часть свойств — уникальным признаком объекта. Вот, собственно, и всё.

Из этого определения вытекает всё, что нужно знать об объектах:
1) «Уникальный признак объекта» не меняется во времени. (По построению)
2) В любой момент времени уникальный признак объекта однозначно определяет объект (иначе наши мозги бы не смогли построить объект — в какой-то момент по признаку поймались бы два входящих сообщения)

Тут выясняется, что «уникальный признак объекта» тоже имеет свойство меняться во времени (только медленно и плавно) и поэтому наш мозг несколько абстрагируется и придумывает уникальный признак, не связанный со внешними свойствами объекта. То есть, просто "имя". Вот я, например, очень существенно менялся за последние 22 года и на взгляд идентифицировать меня сразу после рождения и сейчас сложно. Однако если следить за мной регулярно — нет проблем. А уникальный идентификатор — это моё имя и фамилия, которые на мне нигде не написаны.

Имеенно такую абстракцию привёл в логику Сауль Крипке.
Теория множеств и другие теории чистой математики — это теории с очень экономичным словарём. Кроме общих для всей математики союзов (типа «и» и «поэтому»), местоимений и грамматики там содержится буквально пара слов. «Принадлежать», например. Набор аксиом там тоже мал. Задача такая была. Создать аккуратную и проверяемую теорию, в которое можно засунуть всё.

Вместо этого Крипке предлагает использовать теории, где слов в словаре очень много, но работают они все очень просто. Там есть математические связки, есть специальные слова типа «существует», «возможно» и «обязательно», но подавляющее большинство слов в теории — имена собственные. Это объекты, с которыми мы работаем. Точно также с аксиомами. Есть несколько аксиом касающихся специальных слов, но большинство — произвольные высказывания об объектах. Эти аксиомы называются фактами, а их множество — knowledge base, база знаний. Объекты имеющие одинаковые свойства, но разные имена, считаются разными. Это плод той абстракции, о которой мы говорили выше. «На самом деле» у объектов конечно есть какие-то внутренние свойства, позволяющие их различить, но мы просто оставляем эти свойства за скобками теории.

Такие логики называются модальными. Они все являются логиками первого порядка, а следовательно в них нету открытых вопросов. Они просты и полны. Их непротиворечивость проверяется в два счёта. В рамках таких логик нельзя вести рассуждений о бесконечностях и действительных числах, зато на них прекрасно ложится задача накопления знаний об объектах реального мира и деланьи выводов из этих знаний. Примеры высказываний, которые возможны в рамках самой простой модальной логики:
«akuklev существует», «этот текст написал akuklev», «Возможно президентом США станет Джон МакКейн».

Модальные логики отличаются друг от друга набором специальных слов. В вышеприведённой это только «возможно» и «обязательно». В темпоральной есть «после того как» и «сейчас». В общем, богат выбор. Основная область применения модальных логик — формализация фраз на естественном языке, математическая лингвистика. Существуют могучие логические системы, способные выразить всё богатство смысловых конструкций естественных языков (смысловых, не эмоциональных) и компьютерные программы, анализирующие тексты и превращающие их в knowledge bases. И это не просто можно сделать, это уже делается. Задайте в Google вопрос «When was Elvis Presley born?».

* * *

Стоит также упомянуть, что в рамках модальной логики великолепно формализуется этика. Если добавить унарных операторов «можно», «следует» и унарный оператор императива в одну известную модальную логику, то получается богатый язык, содержащий такие сложные понятия как «заслуживать» и «сожалеть». Для дальнейшего ознакомления рекомендую книгу Formal Ethics 1996 года (находится в два счёта через Google) и свежие статьи на тему. В частности становится понятно, что при достаточно богатом словаре юридических терминов, законы можно тоже записывать на формальном и строгом языке, не допускающем разночтений.
http://en.wikipedia.org/wiki/Formal_ethics
Subscribe

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…

  • 36

    Традиционный деньрожденный пост. Год выдался необычный. :)

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 13 comments

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…

  • 36

    Традиционный деньрожденный пост. Год выдался необычный. :)