Alexander Kuklev (akuklev) wrote,
Alexander Kuklev
akuklev

Categories:
Есть у нас нынче такой предмет, под названием "Математические методы Физики", или сокращённо MaPhy. Входят туда ТФКП и Функан на рабочекрестьянском уровне. Т.е. почти без доказательств, почти без определений. Самое главное - чтоб работало.

Так вот, я просто херею с этой прикладной магии. Вначале нам вводят Преобразование Фурье на L², т.е. только квадратно-интегрируемых функциях. Потом, в первом же домашнем задании просят отфурьячить, например, ступеньку. (s(x) 0 для х < 0, 1 для остальных х) По-моему, даже дегенерату ясно, что ступенька ну никак не может быть квадратно-интегрируемой. Окей, подставим в интеграл. Теперь даже дегенерату ясно, что интеграл расходится.
И тут сноска в листочке с заданием: Вначале профурьячте ящик ширины w (z(x) = 1 для 0 < x < w, 0 для остальных х), а потом устремите w к бесконечности. Давайте посмотрим, что мы на самом деле делаем:

По-определению (с точностю до констант; экономлю место):
ś(k) = Int[-oo, +oo] s(x) exp(ikx) dx

Ясно, что ступенька - предел ящика для w -> oo. Т.е.
s(x) = lim[w -> oo] z_w(x)

Можем подставить в наше интегральное выражение:
ś(k) = Int[-oo, +oo] lim[w -> oo] z_w(x) exp(ikx) dx

В сноске нам предлагают устремить к бесконечности w для уже трансформированного ящика:
ś(k) =(?) lim[w -> oo] ź_w(k)

Подставляя по определению:
ś(k) =(?) lim[w -> oo] Int[-oo, +oo] z_w(x) exp(ikx) dx

То есть, нам скрыто предлагают вышести предел из под интеграла:
ś(k) = Int[-oo, +oo] lim[w -> oo] z_w(x) exp(ikx) dx
=> (?)
ś(k) = lim[w -> oo] Int[-oo, +oo] z_w(x) exp(ikx) dx

А вот это как раз шаг далеко не тривиальный. Чтобы его сделать, нужно как минимум чтобы интеграл существовал. А тут он как раз не существует! Можно за считанные минуты придумать контрпример, показывающий несостоятельность этой операции. Вопрос: Что за херня?

Ответ: Прикладная магия. Или "математика для физиков".
"Мы часто будем рассматривать нашу QM-систему, как заключённую в ящик, и лишь в самом конце устремлять границы ящика к бесконечности. Грязновато, но очень удобно". Конец цитаты.

PS: Благодаря этому пределу мы и вправду теряем одно слогаемое: sqrt(pi/2) DiracDelta(k)
PPS: Ну, ничего. На нормальном матане нам обещали ближе к концу семестра ввести распределения. Темперированные распределения - естественный ареал обитания преобразования Фурье. Они включают все интересующие нас (обобщённые) функции. В следующем семестре обещали ввести и т.н. гиперфункции, т.е. распределения на базе множества аналитических функций. Это нужно, чтобы математически чисто ввести интегралы Фурье. (Хотя и в слишком слабом смысле. В достаточно сильном смысле всё обещает ввести Джет Неструев, у которых на летней школе я был в Италии. Но пока чего-то не ввели.)
Subscribe

  • (no subject)

    Встретил фотографию толпы футбольных фанатов, и она меня скорее напугала, у меня уж точно нет желания быть там среди них. Но внезапно я понял, что…

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 25 comments

  • (no subject)

    Встретил фотографию толпы футбольных фанатов, и она меня скорее напугала, у меня уж точно нет желания быть там среди них. Но внезапно я понял, что…

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…