Alexander Kuklev (akuklev) wrote,
Alexander Kuklev
akuklev

математическоэ

Решать задачи — это таки великое дело. Вот спрашивал я профа пару дней назад, почему нельзя интеграл Лебега определить как-нибудь без разделения функции на отрицательный и положительный кусок — ведь это бы, возможно, ликвидировало проблему с функциями, которые Лебег-неинтегрируемы, а по Риману имеют конечный несобственный интеграл. И как-то он мне очень невнятно ответил.

А сейчас решал его же задачки и воткнул в суть проблемы. Рассмотрим для начала натуральные числа с самой естественной мерой. m(X) = |X|, если X конечное подмножество NN и oo в противном случае. Для функций, определённых на конечных подмножествах NN, интеграл = сумма значений. Для неотрицательных сходящихся рядов интеграл = сумма ряда. А если ряды содержат и отрицательные значения? Попробуем придумать что-нибудь, у чего интеграл Лебега разойдётся. И тут же находится пример. Гармонический ряд с чередующимися знаками. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 ···. Если разложить его на положительный и отрицательный куски, эти куски по-отдельности сходиться не будут. Необходимое и достаточное условие наличия интеграла Лебега — сходимость каждого из этих рядов. А это же обыкновенная абсолютная сходимость. Хм, интересно, не правда ли: равномерная сходимость рядов функция оказалась всего лишь сходимостью по естественной норме, а абсолютная сходимость числовых рядов — просто сходимостью по естественной мере.

Теперь попытаемся врубиться, что же произошло. Чем гарморический ряд Лебегу не понравился? Ответ я нашел, когда по ошибке в доказательстве вместо "исходное множество X = NN" написал "исходное множество X ~ NN". И действительно, для интеграции по Лебегу не имеет значение, что наше множество — множество натуральных чисел. Им может быть любое множество той же мощности. Мера-то одна и та же, количество элементов. А можем ли мы на произвольном счётном множестве определить предел? Можем, если упорядочим. А всегда ли сходящийся ряд будет сходиться? Хм, нужно найти условие, при котором ряд сходится при его любом упорядочивании. И, эврика, — это условие — абсолютная сходимость.

Действительно, если ряд сходится абсолютно в каком-то одном упорядочивании, очевидно он будет абсолютно сходиться и в любом другом: Для любого epsilon мы можем найти все элементы по модулю больше epsilon и будет их не более, чем конечное число. Отсечём их и получим хвост разброса меньше epsilon.

Если же ряд абсолютно не сходится, мы всегда можем между каждыми двумя отрицательными членами втыкать достаточное количество положительных (и наоборот), чтобы частные суммы колебались с постоянным разбросом, как далеко мы не зайдём.

Для любого математика вещи, наверное, очевидные, но студентам-первокурсникам их почему-то не рассказывают, а жаль. Теперь, когда я врубился, множество теорем об абсолютной сходимости принимают совершенно очевидный вид.

Вернёмся к Лебегу с его интегралами. Теперь становится понятно, что причина несоответствия Лебеговских интегралов и несобственных Римановских в том, что несобственные Римановские существенно используют упорядоченность действительных чисел, а лебеговские о ней знать не знают.

Люблю, когда врубается геометрическое мышление. В часности, контрпримеры можно придумывать на лету. :-)

PS: А всё от решения совершенно простой задачи в три строчки, которая навела на идею.
Subscribe

  • (no subject)

    Встретил фотографию толпы футбольных фанатов, и она меня скорее напугала, у меня уж точно нет желания быть там среди них. Но внезапно я понял, что…

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 2 comments