Alexander Kuklev (akuklev) wrote,
Alexander Kuklev
akuklev

Математическое

Продолжая предыдущий пост.
Но человеческое любопытство безгранично. Следующим вопросом, который я задал Клокову был следующий: Вот функцию, обратную данной часто обозначают f-1(x). Это же наверняка не зря! Пусть f -- непрерывная монотонно возрастающая функция с совпадающей областью определения и обастью значений. Тогда у неё есть обратная, и тогда её можно соединять саму с собой. Пусть тогда f°(x) = x, f¹(x) = f(x), f²(x) = f(f(x)), fn(x) = f(fn-1(x)). Для отрицательных -- соответственно. Тогда выполняется соотношение fa∘fb = fa+b. Будем из него исходить. Вопрос: можно ли как-нибудь осмысленно продолжить понятие композиционной степени для рациональных и далее по непрерывности для действительных чисел.

Для примера мы взяли функцию f(x) = x². Тогда можно подобрать к ней f1/2(x) = x√2. Функция
f1/3(x) = x21/3. Несложно проверить и доказать, что для f(x) = xa:
fu(x) = xau

(Обращаю внимание, что единственность рациональных степеней композиции ещё нигде не утверждалась)

Дома я рассмотрел ещё пару примеров.
Например g(x) = kx. Тогда для натуральных n: gn(x) = knx. Несложно проверить, что это подходит вообще для всех действительных g. Проверим, обладает ли наша степень другим хорошим свойством. Пусть h(x) := (kx)a = f∘g.
Если hu = fu ∘ gu, это было бы просто здорово.
Итак, по нашему предположению, hu = (kux)au.
Проверим, что у нас получается для h(x) = (5x)³; u = 1/2.
h1/2 = ([√k]x)√a.

Скомбинируем эту штуку с самой собой:
h = ( [√k] ([√k] x)√a )√a
= ( [√k]1/√a [√k] x )a
= ( [√k](1 + 1/√a) x )a

Хрена, даже две такие простые функции между собой и не думают коммутировать! А вы думали, в рай попали? :-)

Но это не повод для печали. Будем думать дальше. Вот есть, например, производная (хрен ли нам! мы же играем, добавим в условие дифференцируемость) сложной функции:
(f ∘ g)' = g' * (f' ∘ g)

(f)' = g' * (g' ∘ g)

Если мы сюда подставим одну и ту же ф-цию, получится:
(f²)' = f' * (f' ∘ f)

А ещё разок:
(f ∘ f²)' = (f²)' * (f' ∘ f²)
(f³)' = f' * (f' ∘ f) * (f' ∘ f²)

«Доктор Борменталь, умоляю вас: мгновенно эту штучку, и если вы скажете, что это плохо, я ваш кровный враг на всю жизнь.»
Предположим, наша функция хоть где-то пересекается с диагональю x = y, то есть имеет фиксированный пункт a = f(a). Значит, этом самом фикспункте с производной творится чудесная вещь:
(fn)'(x) = (f'(x))n

А ведь может быть, подобная вещь творится и со второй производной? Посчитаем вторую производную сложной функции:
(f ∘ g)'' = [g']² f'' ∘ g + (f' ∘ g) * g''

Страшненько. Подставим что нам нужно.
(f²)'' = [f']² f'' ∘ f + (f' ∘ f) * f''

Вспомним, что у нас всё происходит в фикспункте.
(f²)'' = [f']² f'' + f' * f'' = ([f']² + f')f''

Для третьей степени соответственно:
(f³)'' = [f']4 f'' + (f') * (f²)'' = [f']4 f'' + (f') * ([f']² + f')f''
= ([f']4 + [f']³ + [f']²)f''

Формулка, конечно, вырисовывается страшненькая, но она вырисовывается. То есть, зная функцию f, её фикспункт и все её производные в этом фикспункте, можно посчитать все производные функции fa. Если бы нам удалось доказать, что если f аналитическая функция, то и fa тоже аналитическая, то эту самую fa мы можем полность определить.

Такие вот соображения. Дальше я в мыслях за пять с половиной лет, что прошли с тех пор, совершенно не продвинулся. (Честно говоря, я за эти пять лет ни разу про эту фиговину и не вспоминал даже.) Уважаемые читатели, а может быть кто-нибудь ткнёт меня мордой, в какой книжке по этому вопросу почитать можно? Ведь наверняка же товарищ Эйлер и подобные ему другие товарищи этим вопросом занимались. Уж больно он близок к расширению, например, факториала на всю действительную ось.
Subscribe

  • (no subject)

    Встретил фотографию толпы футбольных фанатов, и она меня скорее напугала, у меня уж точно нет желания быть там среди них. Но внезапно я понял, что…

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 29 comments

  • (no subject)

    Встретил фотографию толпы футбольных фанатов, и она меня скорее напугала, у меня уж точно нет желания быть там среди них. Но внезапно я понял, что…

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…