Alexander Kuklev (akuklev) wrote,
Alexander Kuklev
akuklev

Categories:

Вопрос-ответ. Позавчерашний математический экспромт.

— Саш, а исчерпываются ли все возможные нормы видом root(r)(sum |: x_i :|^r)?
— Нет, конечно. Вот смотри. Пусть V — произвольное векторное пространство над RR, снабженное нормой |:·:|. Рассмотрим его подмножество S = {x in V | |:x:| ≤ 1}. Это получается «единичная сфера» на нашем пространстве в соответствии с этой нормой. Значит, каждой возможной норме соответствует определённая сфера. Сейчас попробуем доказать, что это соответствие взаимнооднозначное, т.е. каждой возможной «сфере» соответствует норма. И по дороге поймём, какими свойствами наша сфера должна обладать.

Как мы строим норму из сферы — догадаешься? Нормы — они согласуются с умножением на положительные числа, то есть |:a x:| = a |: x :|. То есть, если у нас есть единичная сфера, умножая её на два мы получим сферу, где помещаются все вектора с нормой не больше двух. Значит норма вектора x — это такое минимальное положительное число, на которое нужно умножить сферу, чтобы в неё влез x.
Или так: Проведём через ноль и данный вектор луч и пересечём его с нашей сферой. Теперь посмотрим, во сколько раз наш вектор длиннее того отрезка, который получился. Мы как-бы проецируем вектор на поверхность сферы и смотрим, во сколько раз он уменьшился. Если говорить формальным языком, то |: x :| = 1 / sup {a in RR+ | ax in S}. Согласованность нормы с умножением на положительное число выполняется по построению.

Из выполнения для нормы соотношения треугольника следует, что наша сфера выпуклая. Т.е. любой отрезок с концами в ней находится в ней целиком. Несложно доказать, что из выпуклости обратно следует неравенство треугольника. Из того, что |: -x :| = |: x :| следует, что пересечение сферы с произвольной прямой через ноль будет симметрично. И обратно, разумеется. |: 0 :| = 0 эквивалентно тому, что всякое такое пересечение содержит ноль. А для существования и неравенства нулю нормы нужно, чтобы это пересечение было также ограниченно и содержало точки, кроме нуля, и было ограниченно.

Итак, каждая норма на векторном пространстве взаимно однозначно соответствует выпуклой области, каждое пересечение которой с прямой через ноль:
1) Содержит ноль.
2) Содержит хоть одну точку кроме нуля.
3) Симметрично относительно нуля.

Этими свойствами обладает любой многогранник и любой эллипсоид, содержащий в себе ноль (начало координат). Как видишь, нормы могут быть сколь угодно извращёнными. :-) С другой стороны, геометрическая интуиция тут же подсказывает, что все нормы в каком-то смысле эквивалентны: В любую сферу одного типа всегда можно вложить сферу другого типа, если её достаточно сильно уменьшить. Это означает, что топологии, индуцируемые сферами (нормами) разных типов будут совершенно одинаковыми.

К сожалению, геометрическая интуиция на бесконечномерных пространствах не работает. Все нормы эквивалентны между собой тогда и только тогда, когда подлежащее пространство конечномерно.

— А чем тогда особенны нормы вида root(r)(sum |: x_i :|^r)?
— Геометрическая интуиция подсказывает, что если наложить на норму ещё пару ограничений, останутся только они. Сейчас я импровизирую, так что могу полностью ошибаться. Давай вначале условимся, что мы в конечномерном пространстве RR^n. Первым условиям будет перестановочность координат векторов. Т.е. если координаты вектора переставить местами, норма не должна меняться. Если аргументы некоторой функции f перестановочны и функция достаточно благонравна, её наверняка можно представить в виде f(x_1,...,x_n) = g( sum h(x_i) ). Условий благонравности я сейчас не помню, но позже мы подумаем. Теперь наложим ещё одно условие: если все компоненты, кроме одной, равны нулю, норма должна быть модулем этой самой компоненты. Уже проще: теперь самая общая форма такова: f(x) = h^(-1) ( sum h(|:x_i:|)). Теперь добавим, что норма ещё и совместима с умножением на положительные числа и укротим нашу функцию без ограничения общности так, что h(1) = 1. Тогда получается, что h(ab) должно быть равно h(a) h(b). Значит для натуральных n h(x^n) = h(x)^n. Не составляет труда развить мысль для рациональных n и продолжить функцию по непрерывности на R. Получается, что h(x) = h(e^ln(x)) = h(e)^ln(x) = x^ln(h(e)) = x^r. Для выполнения соотношения треугольника нужна ещё выпуклость этой функции. Т.е. r ≥ 1. Вот и всё, пришли к тому виду, который у тебя сверху написан. Теперь глянем, какими условиями мы воспользовались:
1) |: (x_1, ..., x_n) :| = |: s(x_1, ..., x_n) :|, где s — произвольная перестановка.
2) |: (a, 0, ..., 0) :| = |: a :|
3) Норма должна быть непрерывной по каждому x_i.
4) Мистическое условие благообразности. Непрерывности тут нехватает. Например, норма |:x:| = max |: x_i :| первым трём критериям удовлетворяет, а в указанной форме не выражается. (Указанная форма переходит в данную норму при r -> oo)
Видимо, для этого нужна аналитичность. Если функция аналитична, её можно разложить в ряд Тейлора (страшненький, многомерный), который по условию перестановочности должен быть очень симметричным. (Все тензоры-коэффициенты должны быть симметричными.) А Тейлор-разложения аналитических функций вида g(sum h(x_i)), предположительно, покрывают как раз все возможные такие разложения. Будет время — я попробую проверить.
Subscribe

  • (no subject)

    Встретил фотографию толпы футбольных фанатов, и она меня скорее напугала, у меня уж точно нет желания быть там среди них. Но внезапно я понял, что…

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 2 comments