Alexander Kuklev (akuklev) wrote,
Alexander Kuklev
akuklev

Categories:

Математическое

Где-то в феврале я просматривал в Ганновере книжный шкаф, размышляя, чего из книжек надо взять с собой в Гё, и наткнулся на мамину книжку по теории Галуа. Я её уже пытался начать как-то часа в три ночи в сортире в Омске после передачи с Дибровым по СТС. Передача называлась как-то на "а". Антропология, что ли. В том выпуске ещё какие-то перцы играли Битлз на акустике. В общем, год тогда был дремучий, этак 98 или 99 и книжко я ниасилил. Сразу ниасилил, с первых страниц, но интересно стало. Тем более, что там я нашел ответы на остро интересующие меня вопросы:
1) Почему нет универсальной формулы для решения уравнений пятой и выше степеней.
2) Почему невозможна трисекция угла при помощи циркуля и линейки.
3) Почему невозможно построить квадратуру круга. (Квадрат, равновеликий кругу, по известному радиусу круга.)
4) Как в общем случае определить, чего при помощи циркуля и линейки построить можно, а чего нельзя.

Так вот. В феврале, значит взял, а открыл только в апреле. Начал читать, но что-то дела помешали. А тут после практики по линалгебре снова разговорились с нашим преподом-старшекурсником. Я уж не помню, с чего началось, но через полчаса мы сидели в кафетерии матфака и брали по второй чашке кофе.


А, вспомнил. На практике сокурсники решали на доске две задачи по теории групп, а я с этими группами баловался и пытался для каждой придумать отображение в матрицы над каким-нибудь полем. Например, комплексные числа очень просто вкладываются в двухмерные матрицы над действительными. Симметрические группы (группы перестановок) — в матрицы, состоящие из одних ноликов и единичек (т.е. без разницы, над каким полем). Потом я обнаружил, что все циклические группы группа клейна отображаются в соответствующие симметрические и, соответственно, тоже легко представимы матрицами.

В общем, после практики решил я бедного студента порасспрашивать, какие ещё весёлые подгруппы можно найти в группе обратимы матриц над действительными числами/полями Z/pZ.
Студент долго думал и сказал, что кажется, читал, что все. Теперь наступила моя очередь долго думать. «А свободную группу с двумя образующими как?» Студент пригорюнился.

Потом мы начали думать над возможными подполями комплексных чисел. Ну, понятно, действительные числа, рациональные числа, рациональные числа вместе с i, рациональные числа вместе с каким-нибудь корнем или несколькими. Потом я задал вопрос, является ли поле алгебраических чисел замкнутым. Студент ответа не знал, и полагал, что минимальным бесконечным алгебраически замкнутым полем являются комплексные числа. Я тут же предложил контр-пример. Даже если алгебраические числа не замкнуты, можно сделать следующее:
Пусть A_0 := множество комплексных корней полиномов с коэффициентами из QQ.
Пусть A_1 := множество комплексных корней полиномов с коэффициентами из A_0.
И так далее. По аксиоме объединения, мы можем объединить любое количество множеств; даже бесконечное. Соответственно A, объединение всех множеств A_n, мы построить можем. Это множество является алгебраически замкнутым подполем комплексных чисел и не содержит pi. Я легонько припоминал доказательство неалгебраичности числа pi (его давал нам Пэттерсон на рождественской лекции) и сразу оценил, что это доказательство верно не только для A_0, как оно было сформулированно в лекции, а для любого A_n. А если число pi не лежит ни в каком A_n, значит не может лежать и в их объединении.

Студент впал в прострацию и пошел к стоявшему за прилавком Али. Али — какой-то довольно крутой математик, насколько я понял. (Сильно старше нас.) И он сходу сказал, что алгебраические числа, вообще-то замкнуты. Я начал думать, почему, но решения на коленке так и не нашел. По дороге вспомнил ещё два подполя комплексных чисел: вычислимые и определимые. Помучал студента рассказом, что поле алгебраических чисел лежит в поле вычислимых, а поле вычислимых в поле определимых, при том, что все эти поля счётны. :-)

А дома взял книжку по теории Галуа и начал вчитываться. Общая идея основных действий такая:
Берем поле характеристики ноль (т.е. бесконечное), которое при этом является алгебраически замкнутым (т.е. в нем каждый многочлен раскладывается). На счастье, у нас есть такое поле: комплексные числа.
Рассматриваем какое-нибудь маленькое и уютное его подполе. Например, рациональные числа.

Мы можем расширять наше маленькое поле засчёт добавления элементов из большого. Выясняется, что между такими расширениями и определёнными хитрыми группами (называемыми группами Галуа) имеется глубочаяшая взаимосвязь.

Мы берём рациональные числа, добавляем туда всякие корни из них, потом корни из того, что получилось и так далее. И выясняется, что каждому такому расширению соответствует разрешимая группа Галуа.

Теперь мы берём, и конструируем расширение, нужное для решения какого-нибудь милого уравнения пятой степени. Например, x^5 + 3x = 3. И смотрим, как нам нужно расширить рациональные числа, чтобы в получившееся поле вошло хоть одно решение.
И обнаруживаем, что любое нужное расширение обладает неразрешимой группой Галуа!

Вот и всё. Ежели хоть одно уравнение пятой степени обладает решениями, непредставимыми в радикалах (т.е. при помощи операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия корней), значит общей формулы решения такого уравнения при помощи этих операций не может быть и подавно! Это же верно для всех уравнений более высоких степеней.

Это самый короткий путь к решению, но не самый лучший, потому что он очень мало показывает суть происходящего на самом деле. Но книжка была хорошей и потому в ней как раз показывается очень много этой самой «сути». В первой же главе даётся набор теорем, с помощью которого можно в два счёта доказать, что множество алгебраических чисел алгебраически замкнуто.

Очень жаль, что у меня сейчас нет времени более качественно разобраться в этой удивительной теории. Если первую часть книги, где речь идёт о числовых полях, я неплохо понял, то со второй частью всё плохо. Там речь идёт о полях полиномов. Конструируется алгебраически замкнутое поле таковых и очень много всяческих интересных вещей доказывается, но у меня пока нет никакого наглядного представления, как поля полиномов «работают». Чтобы наглядно врубиться в то, что поле рациональных дробей вообще поле, мне пришлось взять и руками понаходить обратные полиномы пяток раз.. Геморрой ещё тот, если честно.

Надо сидеть и нарешивать. А я вместо этого грёбаными протоколами занят.
Subscribe

  • (no subject)

    Встретил фотографию толпы футбольных фанатов, и она меня скорее напугала, у меня уж точно нет желания быть там среди них. Но внезапно я понял, что…

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 22 comments

  • (no subject)

    Встретил фотографию толпы футбольных фанатов, и она меня скорее напугала, у меня уж точно нет желания быть там среди них. Но внезапно я понял, что…

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…