Alexander Kuklev (akuklev) wrote,
Alexander Kuklev
akuklev

Category:

Вопрос по русской терминологии.



Что такое последовательность — понятно всем. 1, 3, 5, 8, ... (и так бесконечно много штук). Говоря математическим языком, последовательность — это отображение из натуральных чисел куда-нибудь ещё. Например, в действительные.

Последовательности типа a_n := (1/2)^n + 1 имеют такую особенную точку — (в данном случае = 1) предел. Чем дальше, тем ближе члены последовательности к ней. Чтобы определить эту штуку математически строго, вводят два определения:

Если у последовательности убрать первые n членов, то, что останется, называется «хвостом последовательности». Хвост последовательности — тоже последовательность.

Окресностью числа g будем называть интервал чисел от x до y (невключительно с обеих сторон), содержащий g. Если речь идёт не о действительных числах и стандартном определении предела, а о чём нибудь более экзотичном, то «окресность» может быть определена практически произвольным образом.

Определение предела последовательности в таком случае звучит следующим образом:
g называется пределом последовательности (a_n), если для любой окрестности g имеется хвост последовательности (a_n), полностью лежащий в этой окресности.
В таких случаях говорят, что (a_n) стремится к g.

Если для любого числа имеется хвост последовательности, полностью лежащий выше него, последовательность называют стремящейся к бесконечности. Если для любого есть хвост, лежащий ниже него, последовательность называют стремящейся к минус бесконечности.

Несложно, однаком, придумать последовательности «стремящиеся» как бы к нескольким точкам одновременно. a_n := (1/2)^n + (-1)^n, например, стремится как бы к 0 и 1 одновременно. Для такого дела вводится новое понятие: множество предельных точек.

Говорят, что число g является предельной точкой последовательности (a_n), если в любом хвосте (a_n) найдётся хоть один член, лежащий в сколь угодно малой окрестности g. Эквивалентное определение: в сколь угодно малой окрестности g лежит бесконечно много членов последовательности (a_n).

Если для любого числа имеется также бесконечное число членов последовательности, лежащих выше него, последовательность называют «неограниченной сверху» и во множествтво предельных точек вносят так же символ +оо (плюс бесконечность). Аналогично — ниже, «неограниченной снизу» и -oo (минус бесконечность).

Выясняется, что если множество граничных точек содержит ровно один элемент, он является пределом последовательности. Кроме того выясняется, что для любого граничного пункта последовательности (a_n) можно найти такую подпоследовательность (a_n), для которой он будет пределом. И обратно: если g — предел какой-то подпоследовательности (a_n), g входит в множество предельных пунктов.

Кроме того выясняется, что множество предельных пунктов для последовательностей действительных чисел не может быть пустым (как и для комплексных, если вместо двух разных бесконечностей используют одну: |oo| — бесконечность по абсолютному значению). Сие называется теоремой Больцано-Вейерштрасса.
Subscribe

Recent Posts from This Journal

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…

  • 36

    Традиционный деньрожденный пост. Год выдался необычный. :)

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 27 comments

Recent Posts from This Journal

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…

  • 36

    Традиционный деньрожденный пост. Год выдался необычный. :)