Alexander Kuklev (akuklev) wrote,
Alexander Kuklev
akuklev

Математическая бяка

По просьбе одного товарища, выложил пару листочков с решениями задач универских

http://kuklev.com/diff/losungen-03.pdf
http://kuklev.com/diff/losungen-04.pdf
http://kuklev.com/diff/losungen-05.pdf
Если кому интересно, что из себя представляют домашние по матану в Гёттингене. Задачи в основном довольно простые. Но решения я старался находить наиболее красивые.

По этому поводу есть вопрос.

akuklev: О, слушай. А вот знаешь какой-нить красивый контр-примерчик для одной вещицы.. Доказать, что неверно, я доказал, а вот красивого контр-примера нет.

Нужна Q-линейная функция, которая при этом не является непрерывной.
Т.е. f(ax + by) = af(x) + bf(y), для всех рациональных a и b,
однако не непрерывная.

Линейность относительно рациональных чисел, собственно, эквивалентна действительной аддитивности. В пятом листочке, последней задаче, мы это доказываем. Т.е.

forall x, y in RR: f(x + y) = f(x) + f(y)
<=>
forall x in RR, q in QQ: f(qx) = qf(x)

Elija: (думает)

akuklev: Если рассматривать RR, как векторное пространство над QQ, любой линейный автоморфизм подойдёт. :-)

akuklev: Проблема в том, что для RR над QQ сложно найти базис.
Я вот так сходу не придумал оного. :-)

Elija: это безусловно слегка извратно
RR над QQ бесконечномерно же вроде и красивого базиса по-моему нету

akuklev: Несчётно бесконечномерно, да. Про базис я не знаю. Я уже думал и не нашел.

Первая мысль была такая — берём действительное число, разбираем его в десятичную дробь. Четные члены умножаем на два, нечётные на три. Если бы при этом не было перескакивания в верхний разряд при превышении десятки, было бы супер. Совершенно QQ-линейно.

Elija: класс идейка

Elija: хм
а если нечетные занулить а четные оставить на местах?
а, блин, та же проблема

akuklev: Стоп. Почему? Нет, нет проблемы.
Elija: когда два числа складывать будем
akuklev: А. Точно. Тьфу. :(
Elija: угу, абыдна
Subscribe

  • (no subject)

    Встретил фотографию толпы футбольных фанатов, и она меня скорее напугала, у меня уж точно нет желания быть там среди них. Но внезапно я понял, что…

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 3 comments