Alexander Kuklev (akuklev) wrote,
Alexander Kuklev
akuklev

Знаешь, что такое гармония?
Наверное, самое близкое русское слово - согласованность.
Древние греки находили одним явлениям множество объяснений в разных планах, разных плоскостях, и все объяснения чудесным образом друг с другом согласовывались. Это, наверное, пример той самой гармонии - согласованности.


Вот происшествия приведщие к троянской войне в хронологическом порядке:
- Гея(земля) сказала Зевсу, что ей трудно переносить на своём теле столько героев. Зевс сказал, что он развяжет войну между героями, чтобы уменьшить их количество и оставить только самых достойных.
- У Зевса родилась дочь Елена - прекраснейшая из женщин.
- Эриду - богиню раздора - не пригласили на свадьбу и она послала туда яблоко с надписью "Прекраснейшей". На яблоко претендовали Гера, Афина и Афродита.
- Чтобы разрешить спор, богини призвали на помощь независимого судью - Париса. Юного и очень красивого пастуха.
- Афродита пообещала ему любовь Елены.
- Он выбрал Афродиту.
- И выкрал Елену у её законного мужа. Это и послужило началом войны.

Знала ли Афродита, что она развяжет войну? Нет.
Знала ли Эрида? Нет.
Знал ли Зевс, когда зачал Елену, что она станет причиной войны? Нет.

Всё это произошло случайно. Но в тоже время было предрешено разговором Зевса с Геей.


Но я сейчас хочу рассказать не о гармонии в мифологии, а о гармонии в математике. Именно гармонией математика привлекла меня много лет назад, когда я ещё и слово "гармония"-то толком не понимал.

Каким бы путём ты не шел, решая уравнение, ты всегда придёшь к одному результату. Он предрешен уравнением. Каким бы путём не доказывал геометрическую теорему, глубина - внутренняя суть доказательства остаётся неизменной.

"Какой бы путь ты не выбрал, конец твоего пути предрешен."

Я ощущал внутреннюю суть, решая уравнения и щелкая задачки. Ощущал, но не мог выразить. И это меня заводило. Я не мог уснуть, оно крутилось у меня на языке, было на кончиках пальцев, это ощущение.. Но его не было на сознательном уровне. Именно этим меня привлекла математика. Мне хотелось понять, почему же решение задачи предрешено, почему два разных пути никогда не приводят к разным результатам. Мне пришлось долго нащупывать вслепую дорогу, прежде чем наконец ощутил связь между значками на бумаге и глубинной сутью сознанием.

Гёдель и его замечательные теоремы, программирование и семантика, контекстно-свободные грамматики и машина Тьюринга, Гильберт и его финитизм - все это надо прочувствовать, прежде чем наконец понять. И этот путь ещё не пройден до конца. Хочется закончить его, увидеть, наконец, как на ладони, эту спрятанную за математическими значками машину.


Не я первый задумался об этой машине. Математики даже придумали науку, которая изучает эти машины. Наука назвается "алгебра". (Правда, к школьной алгебре это не имеет практически никакого отношения. Тут речь скорее о теориях групп, колец и так далее.)

Машина спрятанная за значками - этакая система из шестерёнок, которая стоит за листом бумаги, вот как я себе её представляю.

Можно представить себе арифмометр. Сверху кнопки и рычаги.
Внутри сложный механизм из шестерёнок.
То что наверху - это абстрактный уровень. Вершки. Квинтэссенция.
А внутри механизм.

Причём, одинаковые снаружи арифмометры, которые и работают одинакого, могут быть внутри устроены по разному.

Придумывание внешней морде арифмометра внутреннего устройства, называется координатизацией.

Например, есть система - "эвклидова геометрия". Это наш арифмометр.
И есть её координатизация, где точкам сопоставляют координаты - векторы, соотношениям геометрии - соотношения векторов. Это - устройство.

Причём, соотносить можно с векторами в разных системах координат. А можно и вообще не с векторами, а с зелекрутыми кукарачами, если у зелекрутых кукорач случайно подходящие свойства найдутся. Это и есть координатизация.

Видеть глубину - значит избрать подходящую координатизацию и прочувствовать её.

Например, за каждым чисто "геометрическим" доказательством видеть чисто "аналитическое".

Ещё большее искуство в умении придумать новую систему обозначений и новую систему шестерёнок - новую схему, новую теорию, новую координатизацию для каждой конкретной задачи, чтобы решить её самым красивым образом.

(Программист увидит тут связь с понятиями абстрактного класса, интерфейса и конкретного класса. ;)

А что такое красота решения? Красота решения - это как раз то, насколько прозрачно за решением видна на всю глубину система, стоящая за решением.
Красивое решение - это то решение, по которому сразу видно, что оно неизбежно, что оно единственно. Что оно - закономерный конец пути, а не просто полученый путём кудесничества результат.

О, как же я люблю чувствовать кончиками пальцев, что же "происходит на самом деле", на кухне, в механике часов, циферблат которых я вижу. Люблю мозгом костей, люблю мясом, плечами, шеей.

Разобраться в доказательстве, "взятом из воздуха", понять мысли доказывавшего, проследить его путь, попасть на те же грабли, на которые попал он, найти то же решение. Господа, наверное, я всё-таки извращенец. :)




Между прочим, у моей мамы, математика по образованию, не было вот-этого чувства на кончиках пальцев.

Она часто не видела аналитической сути поверхностных действий.
Это проявлялось часто в некоторой скованности её действий.
Она очень недоверчиво относилась к тому, как я менял иногда определения и обозначения на ходу, менял на ходу средства и подходы. (А я всегда так решаю. :) Обозначения затачиваются под конкретную задачу.)

Вот передо мной задача, которая некрасиво решается в стандартном анализе(координатизация на понятии последовательности), я беру и перехожу в нестандартный анализ (координатизируется на "актуальных" бесконечно-малых) и доказываю там.

"Саша, ты же смешал доказательства из разных сред." "- Но я же пользовался только общим подмножеством обоих сред. Перевести доказательства в одну из них - чисто механическое занятие. Я просто пользовался обозначениями нестандартного анализа потому, что они красивее. :-)"



***
Умение двигать математическими значками - это как умение плавать по поверхности воды. Настоящее же ощущение математики - возможность плавать в её воде, как дельфин, неописуемо человеческим языком. Единственный эпитет, подходящий для описания математического ощущения в полной мере - "ж@пой чую". :)

Наверное, именно так чувствовал Пьер Ферма, написавший без доказательств десятки теорем, НИ ОДНА ИЗ КОТОРЫХ не была ошибочна. А чтобы найти доказательства этим теоремам, нужен был гений Эйлера (до него многие теоремы Ферма не могли доказать), и даже его не хватило - одну из теорем Ферма не могли доказать математики 350 лет и доказали лишь в 1993ем году (окончательное признание доказательства - 98ой год, если мне не изменяет память.)

Только, у Ферма была какая-та невероятно чувствительная ж..то есть, кончики пальцев. :)

Subscribe

  • (no subject)

    Встретил фотографию толпы футбольных фанатов, и она меня скорее напугала, у меня уж точно нет желания быть там среди них. Но внезапно я понял, что…

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 2 comments