August 26th, 2017

ДР Цертуса 2011

Классификация почти-конечных групп

Остаточно конечные конечно представимые (RF-FP) группы включают в себя все конечные группы, все конечно порождённые группы Коксетера, все S-арифметические группы и все решётки внутри алгебраических групп над локальными полями (в том числе вещественных, комплексных и p-адических полупростых групп Ли).

Интересно, возможно ли когда-нибудь будет расширить классификацию конечных групп на весь этот класс?

Вообще, у конечных групп есть два свойства, без которых не было бы никакой надежды на классификацию:
1) В мире конечных групп есть “иерархия вселенных с разрешимым равенством и изучабельной структурой” S1 ⊂ S2 ⊂ S3 ⊂ ···, для каждой конечной группы найдётся такое n, что она внутри (и соответственно, на неё переносится разрешимость равенства).
2) Все эти группы конечно-представлены.

Некоторым естественным обобщением конечных групп в отношении этих свойств является класс конечно-представленных (эффективно) софических групп.
Это группы, которые вообще говоря не влезают целиком ни в одну из вышеописанных вселенных, но влезают в их метрическое ультрапроизведение и соответственно могут быть приближены своими влезающими во вселенные кусками (если просто софических, то теоретически могут быть, а если эффективно софических, то требуется реальный алгоритм, который выдаёт приближение требующейся точности; эффективная софичность эквивалентна просто софичности + разрешимости равенства на группе). Вышеописанные (RF-FP)-группы автоматически являются конечно представимыми эффективно-софическими.

(Естественным обобщением софичности для групп Ли является гиперлинейность — абсолютно то же самое, только ”иерархия вселенных” делается из унитарных групп U(1) ⊂ U(2) ⊂ U(3) ⊂ ··· с полуразрешимым равенством, естественных комплексных аналогов групп перестановок. Разумеется, все софические группы являются гиперлинейными, т.к. Sn подгруппа U(n).)

Отдельное спасибо certusу, что обратил моё внимание на такое чудесное свойство, как софичность.
ДР Цертуса 2011

Monstrous mystery of discrete groups

Имеется допускающая полную классификацию, очень красивая и supposedly однородная теория всех алгебраических групп над локальными полями (получаются группы Ли над вещественными, комплексными, p-адическими числами и их близкими родтсвенниками), конечными полями (так получаются конечные группы типа Ли) и "полем с одним элементом" (никто не знает до конца, что это такое, но считается, что так получаются группы Коксетера). Так одним махом выходит огроменная теория, описывающая симметрии, встречающиеся в геометрико-топологической ойкумене. И кроме того классифицируются все вполне сепарабельные локально-компактные локально-связные топологические группы (а также локально-группы) без бесконечно-малых подгрупп: они оказываются сотканными из простых алгебраических групп над вещественными и комплексными числам. И ещё таким образом почти классифицируются все конечные группы. Но только почти, т.к. существуют 26 исключительных простых конечных групп, которые в этот фреймворк (ну по крайней мере, пока туда не добавили фокусов про "поле с одним элементом") не укладываются. Но как выясняется, по крайней мере 23 из этих 26 удивительных групп описывают симметрии сложнючих "геометрических" объектов, возникающих в теории струн, и напрямую связаны с теорией псевдоавтоморфных форм — обобщением теории эллиптических функций и тета-функций, возникающих в алгебраической геометрии и теории чисел. Началось всё с одной группы (Monster Group), про которую заметили, что она как-то связана с одной автоморфной формой (j invariant), высказали Monstrous Moonshine Conjecture, а потом открыли и доказали не только это, но ещё Generalized Moonshine, Umbral Moonshine, Rudvalis Moonshine и O'Nan Moonshine (совсем свежак, 2017 год), и в итоге остались только три спорадических группы (Janko Groups J3 и J4, а также Lyons group Ly), для такой штуки ещё не нашли. Самое ранее в 1970ые годы была высказана (в 1970ые — ИзраильМоисеевичем Гельфандом) идея, что спорадические конечные группы — это на самом деле члены каких-то регулярных семейств какой-то алгебраической структуры, которае в малых размерностях из-за “совпадений присущих малым числам” оказывается иногда конечной группой. И именно Moonshine должен, видимо, пролить свет на то, что же там такое на самом деле зарыто. И, возможно, совершить некоторую революцию в понимании того, что такое дискретные группы.