March 11th, 2014

Свечка и валокардин

Праздные вопросы...

Вот все знают, что алгебраически-замкнутое поле это такое поле, что все невырожденные квадратные матрицы над ним имеют собственный вектор. Это легко увидеть, посмотрев на характеристические многочлены матриц, однако есть и более глубокое объяснение этого факта. Многие, наверное, слышали про историю, как Дирак "извлек" корень из оператора Лапласа, только получился не оператор, а матрица 2х2 из операторов? Это в точности как классическая конструкция комлпексных чисел: комплексные числа можно представить как матрицы действительных чисел вида [x y; -y x] = x + iy, где i = [0, 1; -1; 0]. Обратим внимание, что собственных значений у матрицы i в действительных числах нет, а вот в комплексных числах собственные значения как раз i и -i. На самом деле любое расширение поля F можно представить, как соответствующее подкольцо кольца матриц над полем F соответствующей размерности. И собственными значениями матрицы, представляющей добавленный элемент x будут в точности x и его сопряженные. Вот и получается, что если над данным полем у всех матриц есть собственные векторы (сиречь собственные значения в этом же поле), то расширять его уже некуда, оно алгебраически замкнуто.

В линейной алгебре принято изучать векторные пространства над полями за их особенную красоту и простоту, однако хорошо известно, что весьма сильные варианты линейной алгебры получаются и если заменить поля на более слабые структуры, например, кольца-с-делением (тела). Самой слабой структурой, для которой линейная алгебра имеет смысл, являются полукольца-с-замыканием.

Полукольца это просто множества, являющиеся моноидами относительно двух операций (обозначаются + и *), первая из которых коммутативна, а вторая дистрибутивна над первой. Полукольцами являются уже натуральные числа (начиная с 0) относительно операций сложения и умножения. Полукольцами являются все кольца и решетки, и что только не является. Очень слабая и очень общая структура. Полукольца с замыканием это полукольца с дополнительной операцией *, соответсвтующей аксиоме x* = 1 + xx* = 1 + x*x. То есть, эта операция даёт нам однозначный способ решать афинно-рекурсивные уравнения x = ax + b. Решением является x = a*b. Невырожденные матрицы над полукольцами с замыканием тоже образуют полукольца с замыканием, и для вычисления замыкания работает алгоритм Гаусса. Полукольца с замыканием, судя по всему, являются, минимальными структурами, для которых имеет смысл выписывать системы линейных уравнений, благодаря чему, собсно, и интересны.

Всякое поле (более того, каждое тело) является полукольцом-с-замыканием x* = 1/(1 - x), и наоборот: если
в полукольце-с-замыканием x*(x + 1)* + 1 = 0, то мы имеем дело с телом, и операции тела можно восстановить: -a = a * (1 + 1)*, a^(-1) = (1 - a)*. Однако есть масса иных полуколец-с-замыканием: макс-плюс и мин-плюс алгебры (см. тропическая геометрия) образуют полукольца-с-замыканием (сами по себе тривиальные, но матрицы над ними образуют нетривиальные полукольца-с-замыканием), однако существуют и очень нетривиальные примеры полуколец с замыканием из разных компьютерных наук: конечные автоматы и регулярные выражения образуют такие полукольца (сложение = или, умножение = конкатенация, замыкание = звезда Клини), ну и ещё они возникают естественным образом при формализации релляционных алгебр.

Интересно подумать, что такое расширение полуполя-с-замыканием, можно ли с терминах чего-то вроде "каждая невырожденная матрица имеет собственный вектор", выделить класс замкнутых в определённом смысле полуполей-с-замыканием. На самом деле, в терминах полуполей-с-замыканием формализуются потенциально-бесконечные деревья (операция замыкания позволяет получить любые периодические бесконечные деревья) и я предполагаю, что расширения соответствуют введению все более хитрых паттернов периодичности (трехмерные квазикристалы являются проекциями нормальных кристаллов из высших размерностей), а замкнутые полуполя-с-замыканием допускают в каком-то смысле вообще любые паттерны.

Upd: У полуколец вообще бывают полиномиальные эндоморфизмы, не все из которых можно записать как многочлены на языке полуколец (из-за отсутствия вычитания и дробных коэффициентов), но можно на языке полей, расширяющих данное кольцо. Например, у полукольца натуральных чисел полиномиальными эндоморфизмами являются так называемые integer valued polynomials: a*(x # n) + b*(x # (n - 1)) + ... + c, где при помощи (x # n) обозначается биномиальный коэффициент. (По теореме Малера биномиальные коэффициенты также образуют алгебраический базис полиномиальных эндоморфизмов над кольцами p-адических целых чисел Z_p и ортонормальный банахов базис p-адических банаховых пространств непрерывных функций C(Z_p, Q_p).) В общем случае они называютяс numerical polynomials и я слышал, что они определяются как-то естественно для любых полуколец. Интересно, если потребовать для полукольца только чтобы были решения уравнений вида x = P(x), где P numerical polynomial, выйдет ли что-нибудь хорошее?..