May 14th, 2012

ДР Цертуса 2011

Сны

Снилось мне, что оказался я в Лесном Математическом институте, здание которого жутко похоже на здание нашего гёттингенского мат.института, только слегка усовершенствованное. Кафетерий, например, был сделан двухэтажным и выглядел как зал из игры Boston Bomb Club (изображение справа).

В здании были добавлены всякие помещения перед окнами во двор, где удобно стоя поговорить вмногером. Там были установлены автоматы, бесплатно наливающие бесследное шампанское. Подносишь бокал — наливает. Бесследность заключалась в том, что оно пьянит ровно на 10 минут, а потом полностью исчезают любые последствия. Был автомат, продающий эликсир бодрости, похожий на лимонад. Но это только по карточкам, потому что им можно пользоваться только по делу нужно, нельзя просто так.

Интересно был проапдейчен математический музей на втором этаже. Во-первых, там была проекция F1 (“поля” с одним элементом), это был стеклянный шар с выколотой точкой по центру и удивительными оптическими свойствами. Например, если сквозь шар посмотреть на листочек с нарисованными прямыми, он превращался в множество точек. :)

Но главное, там была прорублена дыра в чердак, чтобы поставить туда некоммутативную ёлку!
Некоммутативная ёлка занимала неопределённый объем пространства, простиралась из матмузея на чердак.
Я по ней прошёл метров 300, потом решил вернуться. Потом ещё раз возвращаться пришлось тем же путём, потому что когда я вернулся чуть другим, я оказался другого цвета.

Жан-Франсуа рассказывал, что когда Гротендика нашли в Пиренеях, он переселился сюда, в проективную маковку некоммутативной ёлки, и никто не знает, как туда попасть.

На чердаке я видел Яна (jankri), он искал лифт и программировал на Эрланге.

Неизвестный мне декан этого заведения был общительным (на всех языках, хотя он предпочитал латынь и венгерский) деловитым черноволосым, чернобровым человеком неопределимого возраста в бархатном тёмно-тёмно-сиреневом пиджаке. На вид ему было 50, но было понятно, что на самом деле, наверное, больше, но волосы при этом чёрные блестящие, без следа седины, он напоминал Алана Рикмана (“Глас божий”) из фильма «Догма».

Вели разные светские беседы, считали гомологии с certusом, программировали софт для геометрической визуализации разных объектов в (∞,1)-группоидном мире на Агде с Роханом, Петером Арндтом и Надой Амин.

Ещё ходили на какое-то интересное мероприятие в старый горный зал (списанный с главного зала Lincolns Inn и английского парламента), где седовласые слегка сумасшедшие математики (некоторые возрастами отчасти за сотню) пели песни и общались по-латыне, пили бургундское из бочек, пьяные суммировали ряды на скорость на деньги, исписали мелом весь пол и все стены, спорили о Платоне до хрипа, вычисляли гомотопические инварианты. Картье травил байки о Гротендике, Вербицкий спорил с духом Пуанкаре, которого по случаю праздника извлекли из банки, там же Борис Зильбер, стоя на одном из столов, рассказывал о некоторых неожиданных результатах, возникших в связи с решением некоторых противоестественных задач. Математики считали рациональные точки, исследовали модулярные кривые. Профессор Сахарон Шелах с профессором Харви Фридманом наперегонки бегали по лестнице рекурсивных ординалов.

Шабаш обозревал профессор (вовсе не математики) Кантер из Хаддерсфилда и делал в блокнотике непонятные пометки; профессор Кантер не пил.
ДР Цертуса 2011

CFT

Меня часто спрашивают откуда фундаментально-физический интерес к конформным квантовым теориям поля. Ща объясню.

Квантовая физика говорит нам, что разные штуки могут до момента наблюдения находятся в смешанном состоянии типа «30% вероятности что красный, 70% что синий». Или «в точке Х магнитное поле 50% что 5 Тесла, 50%, что 15 тесла». Последнее ни в коем случае не означает, что там магнитное поле равняется среднему арифметическому = 10 Тесла, как раз наоборот. При конечном измерении мы там 10 Тесла никогда в жизни не найдём! Прибор покажет либо 5, либо 15, ничего в промежутке не покажет.

Так вот. Кроме электромагнитного поля ещё есть гравитационное, которое тоже должно быть квантовым. То есть иметь возможность пребывать в таких вот смешанных состояниях. Последние лет 70 физики упорно пытаются создать квантовую терию гравитации.

Проблема в том, что гравитационное поле согласно общей теории относительности определяет в т.ч. причинный порядок событий, то есть не зная конфигурации гравитационного поля, нельзя сказать, может ли событие Х быть последствием события Y. В квантовом случае возможны смешанные состояния, скажем «с вероятностью 30% у нас X в будущем относительно Y, ещё 30% — X в прошлом относительно Y, а остальное на то, что они вообще пространственноподобно разделены». Это не только вычислительно хрень! Это ещё и не поддаётся какой-то осмысленной интерпретации.

Поэтому родилась гипотеза, что может быть причинная структура пространства-времени жёсткая. А квантовые состояния гравитационного поля они обязательно содержат только комбинации, причинно совместимые с ней. Т.е. чтобы какой вариант не возьми, любые X и Y будут находиться с точки зрения причинного порядка в одинаковом отношении.

Причинную структуру пространства времени можно довольно элегантно вычленить. Collapse )
ДР Цертуса 2011

Упражнения

Порядок на множестве и топология на множестве это родственные структуры. Линейный порядок на действительной прямой равно как частичный (причинный) порядок на гиперболическом пространстве-времени времени задают обычные топологии для этих пространств. Действительную прямую с точностью до гомеоморфизма можно охарактеризовать как пространство, которое можно снабдить непрерывным ω-полным линейным порядком.

Только вот неаккуратненько, с точки зрения порядка возникает неканоничность: прямую можно ориентировать в двумя способами.

А можно ли вычленить информацию, содержащуюся в структуре порядка, кроме ориентации?
Можно! Вместо того, чтобы вводить соотношение “>” введём тернарное соотношение “между”. Для удобство обозначений я лучше буду оперировать не тернарным соотношением, а оператором a:b, который для каждых двух точек находит отрезок, между ними заключённый. Collapse )