October 30th, 2009

ДР Цертуса 2011

(no subject)

Пару лет назад я писал об обобщённом интеграле Римана (он же — интеграл Хенстока-Курцвейля), который интересен тем, что совмещает мощь интеграла Лебега и неопределённого интеграла Римана на действительной прямой, в частности позволяя интегрировать злые осциллирующие функции. Что физикам интересно, ибо больно они любят всякие интегралы Фейнмана.

И интересовался я тогда тем, как определить интеграл этого типа для абстрактных пространств. Так вот, возможно, это делается следующим образом:

Пусть (S, µ) — топологическое пространство снабженное мерой µ.

Конечным клеточным разбиением измеримой компактной связной области G ⊂ S называется конечное семейство (Pi) непересекающихся стягиваемых (возможно достаточно связности) измеримых подмножеств S, в сумме составляющих G. Множества G, допускающие разбиения (из не менее чем двух непустых элементов), называются разложимыми. Разбиение (Pi) вместе с набором точек xi ∈ Pi называется помеченным. Помеченное разбиение называется δ-точным относительно µ, для заданного поля точности δ: G → RR+. если µ(Pi) < δ(xi) для всех разложимых Pi.

Приближенный интеграл функции f: S → V (топологическое векторное пространство над RR) по помеченному разбиению (Pi, xi) определяется как сумма Σi f(xi) µ(Pi).

Осталось определить интеграл функции f(x) на области G как такое I (если оно существует), что для сколь угодно малой I-окрестности U найдётся такое поле точности δ, что приближенные интегралы функции f по всем δ-точным относительно µ конечным клеточным разбиениям G лежат в U.