Alexander Kuklev (akuklev) wrote,
Alexander Kuklev
akuklev

Матрицы над кольцеподобными объектами

Может быть когда-нибудь кто-нибудь сможет доказать теорему в духе “все локально модулярные предгеометрии (= матроиды) можно реализовать как модули над обобщёнными локальными полями”. Обобщённые поля должны включать в себя как минимум всевозможные коммутативные алгебраические теории (см. https://arxiv.org/abs/0704.2030), но одновременно с тем и недезарговы аффинные и проективные плоскости.

Для всякого (полу)кольца R мы можем рассмотреть категорию, где объекты это натуральные числа, а морфизмы между n и m — матрицы размера n × m элементов (полу)кольца R с обычным матричным умножением в качестве композиции. Эта категория — реализация алгебраической теории, образованной операциями “линейная комбинация над R” конечного числа операндов. Модели этой теории — (полу)модули над R. Если R — поле, моделями будут векторные пространства/конические пространства над R. Можно допускать только положительные коэффициенты в линейных комбинациях, тогда это будут уже не линейные, а конические комбинации, и моделями будут конические пространства. Можно потребовать, чтобы сумма коэффициентов (сумма модулей коэффициентов) линейной комбинации была равна 1, тогда мы получим аффинные комбинации (либо выпуклые комбинации, если допускаются только положительные коэффициенты), а моделями будут аффинные/выпуклые пространства. В любом случае, если R коммутативное полукольцо, то на выходе мы в любом из этих случаев получим коммутативную алгебраическую теорию.

Наиболее естественно рассматривать матрицы над полями, однако матрицы, например, над кватернионами тоже ведут себя неплохо, т.к. кватернионы хоть и некоммутативны, но всё-таки коммутативны с точностью до антиизоморфизма. Матрицы над октавами представить себе уже сложнее, ведь они уже неассоциативны. Однако в определённом смысле (см. https://www.ams.org/journals/bull/2002-39-02/S0273-0979-01-00934-X/S0273-0979-01-00934-X.pdf) октавы, седенионы и т.д. всё ещё ассоциативны и коммутативны с точностью до фиксированных изоморфизмов — есть такая оптика, которая позволяет рассматривать их всё ещё как ассоциативные и коммутативные кольца, что позволяет рассматривать матрицеподобные объекты над ними.

Если взять штуковины типа октонионов — мы получим коммутативную алгебраическую теорию в определённом обобщённом смысле.

Кроме кватернионов, октонионов и т.д., есть ещё один класс структур, обобщающих поля и естественных в геометрическом смысле — это тернарные поля. Стоящая за ними история такова: аффинные и проективные пространства можно определять аксиоматически, при помощи геометрических аксиом вроде аксиом Эвклида. Из аксиом автоматически следует возможность координатизации, т.е. для каждого такого пространства размерности n ≠ 2 можно, при помощи “выбора репера” построить поле R и идентифицировать его с 𝔸Rⁿ / ℙR ⁿ. А в случае размерности два случается аномалия, там недостаточно обычных полей, чтобы отождествить синтетическую геометрию с аналитической, требуются вот такие вот обобщённы поля — ternary fields.

Для тернарного поля T легко определить на 𝔸T² (множестве пар элементов T) операции взятия “аффинной комбинации” пары — эти операции суть все элементы прямой, проходящей через пару точек. Аффинные комбинации троек получаются как композиции попарных аффинных комбинаций. Множество n-арных аффинных комбинаций для n > 2 изоморфно всему множеству 𝔸T². Можно определить категорию, порождённую этими самыми операциями, и но это будет не алгебраическая теория, т.к. аффинные комбинации работают не покомпонентно. Однако, вероятно, для получившейся категории всё ещё можно сформулировать свойство своего-рода коммутативности. Октонионы, кстати, являются частным случаем таких вот тернарных полей. Очень интересно понять, как это работает в деталях.
Subscribe

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…

  • 36

    Традиционный деньрожденный пост. Год выдался необычный. :)

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments