Alexander Kuklev (akuklev) wrote,
Alexander Kuklev
akuklev

Алгебраическая характеризация липшицевых многообразий

Как известно, правило дифференцирования сложной функции x ↦ f(g(x)) в смысле обобщённых производных работает в точности если f локально липшиц-непрерывна (“почти дифференцируема”), а g локально ограниченной вариации (“аппроксимируется своим графиком”). То есть если нас интересуют обобщённые производные, то в качестве функций смены координат не обязательно брать функции гладкие; достаточно локальной липшиц-непрерывности.

Это мотивирует определение липшицевых многообразий — многообразий задающихся атласами, склеенными билипшицевыми функциями склейки. Ну выходит, что такие многообразия естественным образом снабжены банаховой алгеброй функций локально ограниченной вариации — самых общих функций, для которых в контексте этих многообразий определено понятие производной.


Внимание, вопрос: возможна ли для этого класса многообразий реконструкция из этой алгебры (в духе Гельфанда-Наймарка)? Изучал ли кто-нибудь этот вопрос?

(Такие многообразия кроме того естественным образом снабжены пространством слабосингулярных векторных полей и пространством зарядов — обобщённых производных тех самых слабосингулярных полей — являющееся двойственным к пространству функций локально ограниченной вариации с компактным носителем, снабженному определённой естественной топологией. Алгебраическая характеризация могла бы пролить свет на то, вкладывается ли категория (конечномерных связных вполне-сепарабельных) липшицевых многообразий и локально-липшицевых отображений в какую-нибудь естественную декартово-замкнутую категорию, одновременно минималистичную и достаточно большую, чтобы там наряду с "бесконечномерными многообразиями" путей и автоморфизмов были их "подмногообразия", потребные для нужд вариационного исчисления и стохастики, навроде пространства путей 𝕀 -> M с квадратично-интегрируемыми относительно метрики g на M производными.)
Subscribe

  • (no subject)

    Встретил фотографию толпы футбольных фанатов, и она меня скорее напугала, у меня уж точно нет желания быть там среди них. Но внезапно я понял, что…

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 4 comments