Alexander Kuklev (akuklev) wrote,
Alexander Kuklev
akuklev

Category:

Классификация почти-конечных групп

Остаточно конечные конечно представимые (RF-FP) группы включают в себя все конечные группы, все конечно порождённые группы Коксетера, все S-арифметические группы и все решётки внутри алгебраических групп над локальными полями (в том числе вещественных, комплексных и p-адических полупростых групп Ли).

Интересно, возможно ли когда-нибудь будет расширить классификацию конечных групп на весь этот класс?

Вообще, у конечных групп есть два свойства, без которых не было бы никакой надежды на классификацию:
1) В мире конечных групп есть “иерархия вселенных с разрешимым равенством и изучабельной структурой” S1 ⊂ S2 ⊂ S3 ⊂ ···, для каждой конечной группы найдётся такое n, что она внутри (и соответственно, на неё переносится разрешимость равенства).
2) Все эти группы конечно-представлены.

Некоторым естественным обобщением конечных групп в отношении этих свойств является класс конечно-представленных (эффективно) софических групп.
Это группы, которые вообще говоря не влезают целиком ни в одну из вышеописанных вселенных, но влезают в их метрическое ультрапроизведение и соответственно могут быть приближены своими влезающими во вселенные кусками (если просто софических, то теоретически могут быть, а если эффективно софических, то требуется реальный алгоритм, который выдаёт приближение требующейся точности; эффективная софичность эквивалентна просто софичности + разрешимости равенства на группе). Вышеописанные (RF-FP)-группы автоматически являются конечно представимыми эффективно-софическими.

(Естественным обобщением софичности для групп Ли является гиперлинейность — абсолютно то же самое, только ”иерархия вселенных” делается из унитарных групп U(1) ⊂ U(2) ⊂ U(3) ⊂ ··· с полуразрешимым равенством, естественных комплексных аналогов групп перестановок. Разумеется, все софические группы являются гиперлинейными, т.к. Sn подгруппа U(n).)

Отдельное спасибо certusу, что обратил моё внимание на такое чудесное свойство, как софичность.
Subscribe

  • (no subject)

    Встретил фотографию толпы футбольных фанатов, и она меня скорее напугала, у меня уж точно нет желания быть там среди них. Но внезапно я понял, что…

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 3 comments