Alexander Kuklev (akuklev) wrote,
Alexander Kuklev
akuklev

Category:

Гиперкомплексные числа

Натуральные числа сперва были обобщены до целых, затем до рациональных, затем до вещественных чисел ℝ. А потом придумали три разных расширения ℝ:
— комплексные числа ℂ,
— кватернионы ℍ и
— октонионы 𝕆.

Возникает закономерный вопрос, исчерпываются ли доброкачественные числовые системы, обобщающие ℝ этими четырьмя вариантами.

Числовые системы, добавляющие к вещественным числам какие-то дополнительные, и сохраняющие ассоциативно-коммутативное сложение и дистрибутивное над ним (но не обязательно коммутативного и/или ассоциативного) умножение называются унитальными ℝ-алгебрами. Если не требовать никаких дополнительных свойств или структур, то таких штуковин необозримая тьма.

Однако если потребовать наличие (линейной, положительно-определённой) операции взятия модуля со свойством |ab| = |a| |b|, то выясняется, что все варианты исчерпаны.

Теорема Гурвица-Альберта-Райта-Урбаника:
ℝ, ℂ, ℍ и 𝕆 являются единственными унитальными ℝ-алгебрами с модулем.

Требование наличия модуля оказывается удивительно мощным требованием. Во-первых оно сразу исключает делители нуля, это легко увидеть. Но в самом деле удивительно то, что оно гарантирует:
– конечномерность алгебры над ℝ (при наличии унитальности),
– около-ассоциативность умножения и
– наличие операции деления.

Путь к этой теореме был извилист.

* * *

Началось всё с
Теоремы Фробениуса:
Всякая конечномерная ассоциативная ℝ-алгебра c делением это либо ℝ, либо ℂ, либо ℍ.

Вариант Понтрягина:
Всякая связная локально-компактная ассоциативная алгебра над ℝ c делением это либо ℝ, либо ℂ, либо ℍ.

Вариант Мазура:
Всякая банахова ℝ-алгебра c делением это либо ℝ, либо ℂ, либо ℍ.

Тут напрямую требуется ассоциативность, наличие операции деления, и тем или иным способом ограничивается размер.

Требование ассоциативности удалось опустить, потребовав наличия положительно-определённой билинейной формы.

Теорема Гурвица: Конечномерная композициональная ℝ-алгебра с делением изоморфна ℝ, ℂ, ℍ или 𝕆.

Дальше уже Альберт показал, что всякая ℝ-алгебра с модулем образуется из композициональной ℝ-алгебры с делением, и в самом конце Райт с Урбаником показали, что из унитальности такой алгебры следует конечномерность. (Вместо унитальности можно потребовать flexibility или power-associativity, очень слабые варианты около-ассоциативности.)
Subscribe

  • (no subject)

    Встретил фотографию толпы футбольных фанатов, и она меня скорее напугала, у меня уж точно нет желания быть там среди них. Но внезапно я понял, что…

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 12 comments

  • (no subject)

    Встретил фотографию толпы футбольных фанатов, и она меня скорее напугала, у меня уж точно нет желания быть там среди них. Но внезапно я понял, что…

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…