Alexander Kuklev (akuklev) wrote,
Alexander Kuklev
akuklev

Category:

Модули и комодули

Сегодня мы будем говорить о Г-пространствах Сегала и двойственных к ним объектах. Ну и о линейной Гомотопической Теории Типов.

Обозначим за Fin[n] множество {0, 1,.., n - 1} состоящее из первых n натуральных чисел. Частичной функцией f : A -> B будем называть функцию, которая для любого a : A либо вычисляет значение f(a) : B, либо имеет спец.значение ⟂ (читается “undefined”). Для частичных функций естественным образом определяется композиция, подразумевается, что f(⟂) = ⟂. Категорию частичных функций между конечными множествами Fin[n] для любых конечных n обозначим через Fin*.

Допустим у нас есть тип T, снабженный операцией “сложения” (не зависящая от порядка и с нейтральным элементом). Как выглядит наиболее общее отображение T^n -> T^m, использующее только операцию сложения и каждую исходную переменную не больше одного раза? То есть отображения вот такого типа:
x = 0 + a + b
y = 0
z = 0 + c
...,
где (a, b, c,..) : T^n, (x, y, z,..) : T^m.

Каждая из исходных переменных попадает либо в одну из конечных, либо в «корзину для мусора». Таким образом такие отображения можно взаимно-однозначно кодировать частичной функцией f : Fin[n] -> Fin[m], где f(i) = ⟂ означает, что i-тая входная переменная выкидывается в корзину для мусора, а f(i) = j означает, что i-тая входная переменная кладётся в j-тую выходную корзинку. Важно заметить, что композиция таких частичных функций-“кодов” соответствует композиции отображений T^n -> T^m.

Гамма-пространствами Сегала называются функторы F из Fin* в симплициальные множества с выделенной точкой. На языке HoTT, ∞-функторы Fin* -> (T: Type, T). Их следует понимать как “элементарные модули” (обобщение коммутативных моноидов в двух разных смыслах, см. ниже).

Каждый такой функтор задаёт пространство T = F[Fin[1]] снабжённое операцией сложения. В смысле, что для любого кода “суммирующего выражения” Fin[n] -> Fin[m] функтор действительно даёт нам отображение из T^n в T^m (степень в смысле smash product пространств с выделенной точкой), причём функториальность гарантирует ассоциативность и коммутативность этого сложения с точностью до когерентной гомотопической эквивалентности, равно как и опускаемость нейтрального элемента с точностью до неё же.

Это естественный способ задать коммутативно-ассоциативную операцию сложения, ослабив строгую коммутативность-ассоциативность до «с точностью до когерентной гомотопии». И забесплатно мы получаем отсутствие операции клонирования. Поэтому “элементарные модули” намного общее обычных и если начать называть кольцами просто моноиды в категории элементарных модулей, то похоже[Connes15] получается правильный объединяющий фреймворк для алгебраической, тропической и аракеловской геометрии.

* * *

Теперь вспомним аксиомы группы в контексте линейной логики: чтобы группа оставалась группой нам нужно кроме операции композиции _о_ : T2 -> T ещё иметь операцию клонирования dup : T -> T2, кроме нейтрального элемента e : T0 -> T иметь оператор пожирания d : T -> T0, все аксиомы касающиеся клонирования-пожирания строго двойственны обычным аксиомам группы по части нейтрального элемента и композиции. В сумме получаются аксиомы алгебры Хопфа, кстати.

Так вот, логично предположить, что оснащение пространства структурой двойственной “элементарному модулю” просто определяет операции клонирования-пожирания на этом пространстве. Если у нас есть T^n и мы хотим при помощи клонирования задать T^m, то нам надо просто для каждой выходной переменной xm задать, из какой входной переменной an мы её клонируем, получается как-то не совсем двойственно: структура клонирования задаётся функтором Finop -> Type, без всякой частичности отображений и выделенных точек на пространствах. Обычный кокоммутативный комоноид получается на самом деле.
Subscribe

  • (no subject)

    Встретил фотографию толпы футбольных фанатов, и она меня скорее напугала, у меня уж точно нет желания быть там среди них. Но внезапно я понял, что…

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments