Alexander Kuklev (akuklev) wrote,
Alexander Kuklev
akuklev

Categories:

«От порядка слагаемых сумма не зависит»: Г-пространства

Операция сложения это, наверное, первое, чему учат детей математике во всём мире. И едва дети научились складывать палочки, им рассказывают, что результат сложения не зависит от порядка слагаемых.

Особенно наседают на два частных случая этого закона: ассоциативности и коммутативности. Дело в том, что весь этот принцип для любого количества слагаемых выводится из этих двух частных случаев по индукции (индукция по размеру выражения), хотя это в школе рассказывают уже не всем.

Как это очень часто бывает, прямолинейное определение оказывается лучше косвенного, когда переходишь к неожиданным случаям применения.

Естественное определение сложения
Возьмём множество M, на котором как-то задана семейство операций суммирования Σ: Collection(M) -> M и нейтральный элемент 0 = Σ{}, сумма пустого набора элементов M.

Теперь рассмотрим два кортежа элементов M: M^n и M^k, и рассмаотрим какие отображения из M^n -> M^k мы можем изготовить используя сложение и нейтральный элемент, и не используя клонирования объектов (потому что клонирование — фу, см. пост про линейную логику). Давайте пронумеруем элементы M^n: (1, 2,.., n). Каждый из этих элементов мы либо выкидываем (отображаем в 0), либо отображаем в один из элементов нашего целевого кортежа M^k. Если мы отобразили более одного элемента M^n в какой-то из элементов M^k, они сумируются. Если не отобразили ни одного, туда записывается ноль.

Таким образом, все такого рода отображения M^n в M^k суть частичные функции из Fin(n) = (0, 1,..,n - 1) в Fin(k). Категория, состоящая из конечных множеств n+ для каждого n, и частичных функций между ними, называется Г.

Фраза про то, что сумма не зависит от порядка сложения, означает ровно то, что диаграмма, сделанная из объектов M^n и всех стрелок между ними, изготовленных указанным выше образом, коммутирует. Иными словами, наше множество с операцией сложения вместе со всеми нужными свойствами кодируется как функтор M из категории Г в категорию Set. Само множество восстанавливается как M[Fin(1)], нейтральный элемент как единственное отображение M(Fin(0), Fin(1)), семейство операций сложения Σ: M^n -> M как M(\x:Fin(n).0). Операция перестановки слагаемых, кстати, это M(0 => 1, 1 => 0).

Так вот, есть нехитрая теорема, что функторы Г -> Set и симметричные моноиды (M, _+_, 0) — множества M с ассоциативной и коммутативной операцией + и нейтральным относительно неё элементом — это одно и то же.

Обобщение на случай сложных типов
Однако если рассмотреть функторы Г -> Type, где Type тип в терминах гомотопической теории типов (слабый омега-группоид = гомотопическое пространство = симплициальное множество в терминах обычной математики), то теория получается шире, чем теория симметричных моноидов, потому что требование строгой ассоциативности/коммутативности ослабляется до "ассоциативность/коммутативность с точностью до когерентных изоморфизмов" или там "с точностью до калибровки".

Функторы Г -> Type принято называть Г-пространствами. На мой взгляд, это слегка неудачно вышло, было бы куда как лучше назвать их Σ-пространствами, пространствами со структурой суммирования.

В поисках определения "алегебры"
В начале были натуральные числа, потом придумали дроби, отрицательные числа, вещественные и комплексные. А потом пришли Кэли с Гамильтоном и придумали кватернионы, октонионы, седенионы и зоопарк матричных алгебр, и стало понятно что единственно правильного обобщения чисел не бывает, а бывает много разных алгебр.

В самом общем случае, алгебры это числоподобные системы, на которых заданы сложение (с нулём и не зависящее от порядка слогаемых) и дистрибутивное по отношению к сложению "произведение", от которого дополнительно требуют либо ассоциативности (тогда его записывают как умножение: ABC), либо ослабленной формы ассоциативности (тогда произведение записывают скобкой [A, B, C]), наиболее слабой формой ассоциативности, встречающейся в числоподобные системах является «гибкость» [[a, b], a] = [a, [b, a]]: под это определение попадают всевозможные все коммутативные, все ассоциативные (в т.ч. все матричные) и все альтернативные алгебры (включая октонионы и их обобщения), алгебры Ли, алгебры Йордана и не укладывающиеся ни в одну из этих категорий, седенионы.

Среди алгебр выделяются те, которые образуют моноид по операции произведения (т.е. ассоциативные унитальные алгебры, они ещё называются полукольцами).
Если имеется такое полукольцо R, ассоциативно и дистрибутивно действует на алгебру умножением слева, то говорят что алгебра не простая, а R-алгебра. Если такое действие есть, оно по-существу (т.е. с точностью до автоморфизма R) единственно. На самом деле всякая алгебра (не обязательно ассоциативная и/или унитальная) является алгеброй над полукольцом Nat натуральных чисел, где действие n: Nat на элемент алгебры a интерпретируется как a + a +...+ a (n раз). Но практически все встречающиеся на практике алгебры являются алгебрами над существенно более интересными кольцами: обычно над действительными или комплексными числами.

Выиграет ли определение алгебр, если разрешить алгебре быть не просто множеством, но гомотопически-нетривиальным типом и переопределить сложение, как указано в разделе про Г-пространства? В случае ассоциативноунитальных алгебр однозначно. Такие алгебры естественно определяются как моноиды в категории Г-пространств и для них даже уже есть название: 𝔰-алгебры, они являются мощным обобщением колец, включаяющим most notably "поле с одним элементом" F1 и тропическое полукольцо B. После переопределения сложения таким образом, выходит, что не все алгебры являются алгебрами над Nat (т.к. алгебрами над Nat являются в точности те из них, где всегда возможна клонирование элементов), но все являются алгебрами над F1.

Для колец естественно определять категорию модулей, причём в случае некоммутативных колец категория модулей говорит о кольце больше, чем его внутренняя структура: в частности, именно эквивалентность категорий модулей (а не изоморфизм) говорит об эквивалентности колец "по-существу". Существует глубокая аналогия между категорией модулей над кольцом, и категорией моделей для теории первого порядка, а также между множествами решений многочленов в первом случае и определимыми множествами во втором. Можно ли, пользуясь новым обобщением, придать точный смысл этой аналогии?

Даёт ли новое обобщение какие-то бенифиты для неассоциативных и/или неунитальных алгебр?
Subscribe

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…

  • 36

    Традиционный деньрожденный пост. Год выдался необычный. :)

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 11 comments

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…

  • 36

    Традиционный деньрожденный пост. Год выдался необычный. :)