Alexander Kuklev (akuklev) wrote,
Alexander Kuklev
akuklev

Category:

Неабсолютные интегралы

Понятие интеграла возникло двумя независимыми способами:

1. Абсолютные интегралы: Интеграл как обобщение суммы* на случай бесконечного числа слогаемых.
Во-первых понятно, что в отличие от конечной суммы, ∑, бесконечная сумма может расходиться (достаточно взять в качестве примера последосательность 1, 1, 1,..), так что ∑ это частичная функция.
Во-вторых уже в случае суммирования рядов (т.е. случай счетного числа слагаемых), что хорошим обобщением операции ∑ является только абсолютный интеграл, т.е. такой, который считается определённым для последовательности sn только если не расходится ряд |sn|, в противном случае результат зависит от порядка слагаемых, т.е. ∑ перестаёт быть разумным обобщением \Sum.
Учатывающую эти оговорки частичную функцию ∑: Collection[M] -> M, можно определить для любого топологического коммутативного моноида М. (Collection[M] тут означает алгебру Борелевых мультимножеств на M)

Интеграл Лебега - корректное континуальное обобщение этой суммы, т.е. суммировать мы собираемся функции. Понятно, что введенная выше бесконечная сумма для обычных функций на действительных числах будет расходиться, сходимость возможна только для функций, которые почти всюду равны нулю. Что же делать? А надо обобщить суммирование до суммирования с весами, тогда контроллируя рост суммы уменьшением весов можно избежать расходимости.

Сеттинг в котором определяется интеграл Лебега: берется полный плотно-упорядоченный коммутативный моноид W, в котором операция сложения соблюдает порядок (обычно это неотрицательные вещественные числа со сложением, дополненные точкой в положительной бесконечности, хотя вообще говоря возможны варианты), это будет множество из которого можно брать веса. Берется множество M, в котором можно складывать с весами: без весов это был любой коммутативный моноид, а теперь нужно, чтобы он был модулем над W. Если W = неотрицательные вещественные числа (тот случай, который интересует нас в 99.9% случаев), то M является банаховым пространством (или, достраивается до такового без ограничения общности). Теперь нужно обобщить Collection[M] (конечные подмножества M с кратностями) и Collection[M] (борелевы подмножества M с кратностями) до W-значных мер на M: MeasureW[M], т.е. отображений, которые сопоставляют каждому борелеву подмножеству M элемент W когерентным способом. Тогда интеграл, это просто частичная функция ∫: MeasureW[M] -> M.
Сок подхода, позволющий применять его на практике, состоит в том, что
а) на однородных пространствах с непрерывными симметриями (в первую очередь, афинных пространствах и сферах) существует и единственна инвариантная мера и
б) если у нас есть (какое угодно топологическое) пространство S с мерой μ, то любая измеримая функция f: S -> M определяет меру f dμ на M, так что можно вычислять интеграл ∫ f dμ: M.
Надо отметить, что две разных функции, совпадающие почти повсюду (т.е. за исключением множества меры нуль) дают одинаковые меры, т.е все интегральные свойства функций определяются классом эквивалентности с точностью до различий на множествах меры нуль. Множество всех измеримых функций на вещественной прямой необозримо огромно, а множество описанных классов эквивалентности равномощно континууму и сепарабельно.

Интеграл Лебега максимально общее в границах своей применимости обобщение конечной суммы. И по этому же он рассматривает только абсолютное интегрирование, т.е. "не зависящее от порядка слагаемых". Ниже я объясню, почему это достаточно не для всех задач.

[* Вместо суммирования можно взять любую другую бинарную операцию, которую можно применять не только к двум операндам, но к любому набору (конечному множеству с кратностями) операндов, причем результат не будет зависеть от порядка редукции. На вещественных числах примерами таких операций кроме сложения являются умножение, нахождение максимума и минимума, по отношению к ним можно тоже сформулировать интегралы: это лог-интеграл, супремум и инфимум соответственно. На рациональных числах добавляются ещё операции нахождения НОК и НОД, об устройстве интегралов для них я ничего не знаю. До недавнего времени я считал, что наиболее общая структура, для которой корректно определяется ∑ суть коммутативный моноид, однако оказывается это не совсем так: оказывается иногда естественным образом возникают структуры в духе HoTT, где ассоциативность и коммутативность нужно чуток ослабить, сказать, что результаты не обязательно равны, но (гомотопически)эквивалентны, тогда наиболен общая структура S с когерентной операцией ∑: Collection[S] -> S это т.н. Γ-пространство Сегала.]

2. Неабсолютные интегралы: Интеграл как обращение дифференциала и интеграл как скалярное произведение функций.
Когда интеграл (ещё не в Лебеговской, а в самой наивной формулировке) был введён, практически сразу была сформулирована т.н. основная теорема вещественного анализа: дифференцирование и интегрирование на действительной прямой взаимно обратны.

Наивная формулировка этой теоремы звучит так: если f' производная какой-либо дифферкнцируемой функции на связном подмножестве I вещественной прямой, то её интеграл на любом отрезке [a, b] ⊆ I равен f(b) - f(a), и наоборот, если g(x) это интеграл некой функции h на отрезке [a, x], то g почти всюду дифференцируема и h(x) равна g'(x) почти всюду.

К сожалению, если под словом "интеграл" понимать интеграл Лебега, без ограничений верна только вторая часть теоемы, первая же верна только если f' абсолютно-интегрируема, что верно не для всех дифференцируемых f.

Однако на вещественной прямой существуют неабсолютные обобщения интеграла Лебега (см. отличный обзор http://www.emis.de/proceedings/Toronto2000/papers/bullen.pdf), для которых эта теорема верна совсем без ограничений: эти интегралы называются интегралами семейства Хенстока-Курцвейля и существенно пользуются прямой связью метрики и меры на вещественной прямой.

Самым хорошо изученным из них является интеграл с коротким названием Henstock-Kurzweil-Denjoy-Luzin-Perron integral, удивительный тем, сколько у него есть независимых определений, и сколько людей их независимо нашли. Для него основная теорема вещественного анализа выполняется без всяких оговорок, однако есть одно но: основную теорему вообще говоря можно сформулировать не только на вещественной прямой, но на любом гладком многообразии (где встречается под названием теоремы Стокса-Кельвина-Гаусса-Остроградского-Грина-Ньютона-Лейбница, где произвольное количество ненужных имён опускается в зависимости от контекста), а у вышеозначенного интеграла нет хорошего обобщения на многомерный случай. Однако существует очень интересное ослабление этого интеграла, так называемый
C̃-integral (D. Bongiorno et al., 1996, 2000, 2001, 2005): самый слабый интеграл (обобщающий одновременно интеграл Лебега и несобственный интеграл Римана на действительной прямой), для которого теорема выше верна без всяких оговорок. На самом деле, верна даже более общая формулировка: в первой части от f больше не требуется быть дифференцируемой всюду: достаточно непрерывности и дифференцируемости везде, за исключением возможно счётного числа особых точек, соответственно под f' надо понимать любую функцию, почти всюду равную производной f, там где она определена. Обобщение этого интеграла на многомерный случай пока изучено плохо, однако выглядит многообещающе: по крайней мере, получающийся интеграл инвариантен, насколько я понимаю, относительно замены переменных (липшицеморфизмов), и обеспечивает сильный вариант многомерной основной теоремы анализа. Среди его фундаментальных недостатков имеется лишь очень слабая теорема Фубини, т.е. вычислить многомерный интеграл путём последовательного интегрирования по отдельным размерностям можно только при очень специальном подборе системы координат.

Другая модификация интеграла Хенстока-Курцвейля имеет отношение ко второму упомянутому применению неабсолютных интегралов: вычислению скалярного произведения функций в разнообразных линейных пространствах функций (это то, что изучает функциональный анализ): ApSy-integral (Thomson 1994): Этот интеграл является крайне сильным обобщением всех остальных одномерных интегралов (и естественно, ведёт себя значительно более патологически), он необходим и достаточен для неограниченной версии следующей теоремы:

Пусть (S, μ) окружность с канонической мерой μ, φ ∈ S число от -π до π. Пусть последовательности an и bn таковы, что f(φ) = a02 + ∑{k} an·cos(kφ) + an·sin(kφ) сходится (поточечно) для всех φ. (Отметим, что из этого совершенно не следует, что f(φ) дифференцируема в обычном смысле хоть изредка) Тогда
  an = (ApSy)-∫ f(φ)·cos(kφ) dμ, k = 0, 1,..
  bn = (ApSy)-∫ f(φ)·sin(kφ) dμ, k = 1,..

Тут (ApSy)-∫ используется для определения скалярного произведения функции f(φ) и функций cos/sin(kφ) образующих базис пространства сходящихся тригонометрических рядов. ApSy-интеграл, по всей видимости имеет довольно прямое обобщение с одномерной окружности S на случай любого торсора локально-компактной топологической группы, обобщая случай рядов Фурье на сеттинг гармонического анализа самого общего вида.
Subscribe

  • (no subject)

    Встретил фотографию толпы футбольных фанатов, и она меня скорее напугала, у меня уж точно нет желания быть там среди них. Но внезапно я понял, что…

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments