Alexander Kuklev (akuklev) wrote,
Alexander Kuklev
akuklev

Category:

Линейная логика и квантовые группы: надежда на великое объединение

Математические теории (хоть теорию групп, хоть теорию множеств) обычно рассматривают поверх логики предикатов, то есть, кроме значков теории считается что уже даны логические операторы ¬∨∧∀∃ и все аксиомы для них. Равенство и его аксиомы иногда тоже относят к ambient logic, а иногда вносят в теорию. Последнее, разумеется, более модулярный подход. Для удобства требование наличия структуры равенства вводят при помощи наследования, когда говорят "группа это множество, с такой-то дополнительной структурой", а в где-то в начале книжки написано, что "множество это структура, снабженная отношением равенства со всякими нужными свойствами.

Иногда ambient logic ослабляют до интуиционистской (фактически просто убирают одну аксиому), это ещё более модулярный подход, вместо одной структуры «колько» можно определить «разрешимое кольцо», которое ведёт себя точно как обычное (т.е. "аксиому" про исключённое третье превратили в часть определения кольца) и ещё две разновидности колец, с богатыми теориями. Это подход тоже повышает модулярность и оттого уже хорош. Ещё раз отмечу, что общности он не снижает: в классической логике для всех утверждений верен принцип исключённого третьего, а в интуиционистской мы рассматриваем как утверждения с этим свойством (т.н. разрешимые утверждения), так и иные, для которых это не обязательно так.

Чтобы ещё больше повысить модулярность, нужно ослабить ambient logic до линейной, тогда группы естественно обобщаются до "квантовых групп", решётки до кванталей и тому подобное. Но это значительно сложнее, чем просто убрать аксиомку, основная фича линейной логики в том, что нельзя так просто делать дубликаты сущностей, её можно делать только для специальных сущностей (т.н. значений), а вообще "бывают" материальные сущности типа электрона, фотона, ячейки памяти (в т.ч. квантового регистра) или файлхендла, с которыми так обращаться нельзя. Очень сложно переходить к такой ambient logic, т.к. математика очень привыкла работать только со значениями, и буквально везде значения клонируют и отбрасывают почём зря.

Давайте попытаемся разобрать, что это означает на практике, на примере групп. Группа это, значить, во-первых множество G с ассоциативной операцией композиции _·_, и нейтральным относительно неё элементом. На языке струнных диаграмм, это формулируется вот так:

(q) https://dkwise.wordpress.com/tag/weak-hopf-algebras/


Во вторых есть на нём операция $ нахождения обратного относительно композиции, то есть если взять x, построить $x, то x·$x = $x·x = e. Так, товарищи, что-то здесь, не то... Мы взяли один икс, потом изготовили из него $икс, значит исходного икса у нас вообще говоря не осталось, соответственно записать x·$x уже не получится! Каков же выход?

Выход заключается в том, чтобы сказать, что мы вообще умеем определять группы только если в их элементы умеют клонироваться, то есть наряду с операцией композиции типа G × G -> G, у нас должна быть операция дупликации: G -> G × G. Эта операция коассоциативна, т.е. если мы решим вместо пары попродить тройку, то сперва можно наклонировать пару, а потом склонировать любой из оставшихся элементов, всё равно какой. Кроме этого, надо как-то сформулировать, что каждый из новополучившихся элементов равен исходному, а для этого понадобится операция поглощения, чтобы можно было лишнюю копию снова отбросить: тогда подтверждение, что операция дупликации действительно копирует исходный элемент -- это просто аксиома о том, что если сначала склонировать, а потом один из элементов отбросить, то мы как бы ничего и не сделали:

Правда симпатично, что это в точности перевёрнутые диаграмы сверху? :-)

Теперь мы можем записать правило про обратную операцию, оно выглядит вот так (готовой диаграммки нету):
 |        |
/ \       |
| $    =  |
\ /       |
 |        |


К сожалению, это ещё не всё. За из-за того, что дедукция у нас тоже линейная (т.е. выведенное тождество можно применить только один раз, нельзя склонировать), вывести из имеющихся аксиом распределительный закон не получится, нужно задать его как аксиому вручную:

Ещё надо вручную записать, что будет, если сдуплицировать нейтральный элемент (два нейтральных элемента) или поглотить композицию (поглотить её аргументы), и на этом всё: полученный объект ведёт себя в точности как обычная группа, только диаграммы красивше.

Чем же такая переформулировка вообще интересна? А интересна она, если интерпретировать её не в категории Set, а в категории VecK векторных пространств над полем K, где × означает не пару элементов, а тензорное произведение векторов. Тогда полученная структура называется алгеброй Хопфа, такие алгебры играют роль групп в теории квантовых динамических систем и некоммутативной геометрии.

На языке классической математики (где всё можно клонировать и отбрасывать) родство групп и алгебр Хопфа очень тяжело формализовать так, чтобы одновременно доказывать результаты для того и другого. Зато можно запросто можно доказывать одним махом результаты для алгебр Хопфа над любыми полями одновременно, и утверждения про группы возникают, если взять результаты для алгебр Хопфа над конечными полями характеристики p и подставить p = 1. Поэтому говорят, что группа это "алгебра Хопфа над полем с одним элементом (которого не бывает)".

Придать этому точный смысл, кажется, в феврале этого года наконец удалось (http://www.alainconnes.org/docs/gammasets.pdf): вместо того, чтобы рассматривать категорию VecK векторных пространств над полем K, можно рассматривать категорию VecK вектоидов над 𝖘-алгеброй K, 𝖘-алгебры это такое высшекатегорное обобщение полей, что там содержатся не только все поля, замкнутые полуполя и тропическое полуполе, но и тривиальный элемент F1 соответствующий полю с одним элементом, так что категория VecF1 ведёт себя как категория множеств Set в линейной логике. Так что, рассматривая, алгебры Хопфа над произвольной 𝖘-алгеброй K, можно, видимо, одновременно делать выводы для всевозможных квантовых и неквантовых групп. А линейная гомотопическая теория типов, о существовании которой так долго спекулируют большевики, должна предоставлять удобный синтетический язык для того, чтобы такие доказательства производить.

Очень интересно, что на данный момент наиболее эффективным способом рассуждать о квантовых группах и других квантовых штуках (квантовых римановых многообразиях), например, является не синтетический категорный, а аналитический подход (в смысле, использующий функциональный анализ и теорию операторных алгебр с хардкорными оценками сходимости, асимптотическими последовательностями и прочими забавами в стиле Вейерштрасса-Рамануджана): там вместо того, чтобы рассматривать носитель группы или точки пространства, рассматривают С*-алгебры функций на них (по определению, коммутативной), и переформулируют всю структуру в терминах этих функций. А затем разрешают алгебре стать некоммутативной, а структуры оставляют. Ну а т.к. некоммутативные С*-алгебры представимы как алгебры операторов на бесконечномерных гильбертовых пространствах, открывается простор для тех самых вещественно-аналитических методов. Правда, С*-алгебраический подход покрывает только локально-компактные (и обычные, и спектральные) пространства, локально-компактные (и обычные, и квантовые) группы и т.д.

Как связать одно и другое пока не очень понятно, однако судя по всему связь будет осуществлена через теорию моделей. В 2010 году выдающийся моделетеоретик Борис Зильбер написал о связи теории моделей и некоммутативной геометрии: https://people.maths.ox.ac.uk/zilber/bul-survey.pdf. Дело в том, что модели структур, будь то группы, кольца или что угодно, несут на себе геометрию Зарисского, структуру опеделяющую информационно-теоретическое содержание модели. Так вот возникающие на практике (то есть в рамках классической логики) модели таковы, что геометрия эта коммутативно. Но сама структура геометрий зарисского допускает естественное некоммутативное обобщение, получающиеся геометрии координатизируются хитрыми алгебрами над алгебраически-замкнутым полем. Тут-то и возникают С*-алгебры! Дело в том, что любое алгебраически-замкнутое поле нулевой характеристики эффективно изоморфно полю комплексных чисел, а если оно ещё и локально-компактное, то этот изоморфизм ещё и аналитический. Было бы очень красиво, если бы некоммутативные геометрии Зарисского возникали в точности в теории моделей в рамках линейной логики, тогда паззл бы сложился.

Я очень надеюсь, что этот паззл действительно соберётся, какое это было бы "великое объединение":
LinHoTT даёт синтаксический, синтетический подход к унифицированному рассмотрению классических и "квантовых" пространств и структур, подход Конна даёт семантическое понимание всего этого дела, а теория моделей объясняет, как огромный класс моделей этих структур можно изучать методами анализа, "в координатах", так что можно реально считать циферки.
Subscribe

  • (no subject)

    Встретил фотографию толпы футбольных фанатов, и она меня скорее напугала, у меня уж точно нет желания быть там среди них. Но внезапно я понял, что…

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 5 comments