Alexander Kuklev (akuklev) wrote,
Alexander Kuklev
akuklev

Categories:

Математический тривиум

Раз уж мы заговорили о базовых математических предметах для первокурсников, давайте проведём опрос на тему, что к ним относится. Я не знаю, потребно ли филологам, историкам и музыкантам знать что-либо из математики за рамками стандарта общеобразовательной школы. Наверное полезно уметь логически думать и избежать наивных пресуппозиций (например что вымышленные параметры типа "коллективная воля" и "средняя удовлетворённость" группы людей можно адекватно определить), но это во-первых полезно всем, а во-вторых как это преподавать, я не в курсе.

Но для студентов, изучающих что-то близкое к точным наукам точные науки уже в любом случае необходима такие вещи, как "Численный анализ данных", "Statistics and Probabilistic Reasoning" и "Scientific Reasoning and Common Fallacies". А для этого нужны базовые знания линейной алгебры и самого примитивного анализа. Как раз эти две вещи на уровне пригодном как для студентов-математиков, так и для студентов-нематематиков излагает весьма и весьма неплохо Шелдон Экслер в своих Precalculus и Linear Algebra Done Right. На примере линейной алгебры (там особенно прозрачные доказательства) можно учить людей тому, что такое собственно доказательства. Вообще какой-нибудь курс про "Natural deduction and Construction Calculi" я бы тоже приветствовал в тривиуме, но пока такой курс никто не написал.

Биологам, лингвистам и любым экспериментаторам/техническим прикладникам надо ещё конечно курс по программированию вида "как быстро наскриптовать себе на Perl/R/Matlab/Julia обрабатывалку моих данных". Инженерам и экспериментаторам надо ещё программирование вида "Как быстро на LabView нафигачить скрипт для станка/измерительной хрени". Но это нафиг не надо чистым математикам и не обязательно теорфизикам. Некоторым ещё надо понимать дифференциальные уравнения: математикам, физикам, химикам, биофизикам и биохимикам, инженерам. Им надо вещественный анализ на том или ином уровне, и наивный курс про обыкновенные дифференциальные уравнения и их _численное_ решение. Я бы тут полностью избегал глубокой теории, почти полностью избегал доказательств, везде где возможно использовал наглядные методы (асимптотику), а во всех местах, где можно прострелить себе ногу, разбирал контрпримеры.

Что ещё надо/можно в тривиум?

* * *
Про Precalculus. Это про
- вещественную прямую, координатную плоскость понятие функция, уравнения и кривой. Изучаются самые распространённые типы кривых (прямая, конические сечения и графики элементарных функций), и элементарные функции: рациональные функции, логарифмы, экспоненты и тригонометрические функции.
- ряды и последовательности
- линейные уравнения
- комплексные числа
- (в книжке этого нет, но я бы отнёс сюда ещё классическую планиметрию).

Считается, что это надо пройти в старших классах школы и очень по-быстрому (шестинедельный интенсивный) повторить перед первым курсом.

Мне не кажется логичным продолжать этот курс собственно математическим анализом мне не кажется логичным ни для математиков, ни для нематематиков. В духе гумбольтовского классического образования (это не для всех, но для всякого, кто хочет считать себя образованным человеком!)
хочется вместо этого перво-наперво дать максимально широкое представление о доступной (неабстрактной), но взрослой, "нешкольной" математике, и её красотах. Для этого я бы потратил два вводных триместра на курсы по вот этим двум книжкам:
- Concrete Matemathics (Knuth и др.);
- Visual Complex Analysis (Needham).

В первой быстро расскажут обо всём дискретном, во второй очень визуально и понятно (без доказательств, но с объяснениями) о самом красивом непрерывном. В совокупности эти две книжки снабжают человека общекультурными представлениями о релевантной сегодня классической математике (ну например, о комплексной плоскости, неэвклидовой геометрии, небесной механике и биноме Ньютона, всех красотах благородных* функций, их дифференцировании и интегрировании).
Там нет доказательств, недоступных матшкольнику-восьмикласснику. Всё опирается на прямое вычисление или наглядную картинку, изредка к этому добавляется мат.индукция. Но прогружает мозг в математическом плане огого!

А асимптотические методы, которые даны в конце "Конкретной математики", как раз готовят к восприятию вещественного анализа на базе o-notation.

(* Речь идёт о мероморфных функциях: естественном обобщении элементарных функций, при котором сохраняются все "красивые" свойства не теряются, т.е. они ведут себя максимально регулярно в отношении вычислимости, дифференцирования и интегрирования, применения к матричным аргументам, бесконечной композиции и т.д.)

* * *

Узнал, что в ноябре выходит третье издание Linear Algebra Done Right. Очень хочу поскорее добраться и посмотреть, включил ли автор базовые вещи, которые раньше не входили в книгу. В первую очередь побольше, ещё побольше наглядного понимания через обсуждение афинных преобразований картинок на плоскости, вращения в 3D, систем линейных уравнений прямо в картинках и линейных динамических систем (дискретных и непрерывных), про числа Фибоначчи там обобщённые. Во вторую про наглядное и практическое про SVD и pseudoinverses: метод наименьших квадратов при фиттинге кривых и моделей, факторный анализ, метод главных компонент. В третью про двойственные пространства и произведения, про билинейные формы (и кривые второго порядка).

Я бы ещё наверное сделал дополнительные главы на тему "Разности и афинная геометрия, пропорции и проективная геометрия" (ближе к началу книги) и (в конце) "Линейная алгебра и квантовые вычисления" и "Линейная алгебра над нестандартными телами: конечные поля, рациональные числа, алгебраические числовые поля, p-адические числа, ряды Лорана, кватернионы".

А ещё, чтобы не смущать людей абстракцией, я бы параллельно с таким курсом читал инженерам и физикам маленький ненавязчивый курс по стереометрии и Geometrical Vectors по одноимённой книжке Вайнрайха.
Subscribe

  • (no subject)

    Встретил фотографию толпы футбольных фанатов, и она меня скорее напугала, у меня уж точно нет желания быть там среди них. Но внезапно я понял, что…

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 54 comments

  • (no subject)

    Встретил фотографию толпы футбольных фанатов, и она меня скорее напугала, у меня уж точно нет желания быть там среди них. Но внезапно я понял, что…

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…