Alexander Kuklev (akuklev) wrote,
Alexander Kuklev
akuklev

Category:

Праздные вопросы...

Вот все знают, что алгебраически-замкнутое поле это такое поле, что все невырожденные квадратные матрицы над ним имеют собственный вектор. Это легко увидеть, посмотрев на характеристические многочлены матриц, однако есть и более глубокое объяснение этого факта. Многие, наверное, слышали про историю, как Дирак "извлек" корень из оператора Лапласа, только получился не оператор, а матрица 2х2 из операторов? Это в точности как классическая конструкция комлпексных чисел: комплексные числа можно представить как матрицы действительных чисел вида [x y; -y x] = x + iy, где i = [0, 1; -1; 0]. Обратим внимание, что собственных значений у матрицы i в действительных числах нет, а вот в комплексных числах собственные значения как раз i и -i. На самом деле любое расширение поля F можно представить, как соответствующее подкольцо кольца матриц над полем F соответствующей размерности. И собственными значениями матрицы, представляющей добавленный элемент x будут в точности x и его сопряженные. Вот и получается, что если над данным полем у всех матриц есть собственные векторы (сиречь собственные значения в этом же поле), то расширять его уже некуда, оно алгебраически замкнуто.

В линейной алгебре принято изучать векторные пространства над полями за их особенную красоту и простоту, однако хорошо известно, что весьма сильные варианты линейной алгебры получаются и если заменить поля на более слабые структуры, например, кольца-с-делением (тела). Самой слабой структурой, для которой линейная алгебра имеет смысл, являются полукольца-с-замыканием.

Полукольца это просто множества, являющиеся моноидами относительно двух операций (обозначаются + и *), первая из которых коммутативна, а вторая дистрибутивна над первой. Полукольцами являются уже натуральные числа (начиная с 0) относительно операций сложения и умножения. Полукольцами являются все кольца и решетки, и что только не является. Очень слабая и очень общая структура. Полукольца с замыканием это полукольца с дополнительной операцией *, соответсвтующей аксиоме x* = 1 + xx* = 1 + x*x. То есть, эта операция даёт нам однозначный способ решать афинно-рекурсивные уравнения x = ax + b. Решением является x = a*b. Невырожденные матрицы над полукольцами с замыканием тоже образуют полукольца с замыканием, и для вычисления замыкания работает алгоритм Гаусса. Полукольца с замыканием, судя по всему, являются, минимальными структурами, для которых имеет смысл выписывать системы линейных уравнений, благодаря чему, собсно, и интересны.

Всякое поле (более того, каждое тело) является полукольцом-с-замыканием x* = 1/(1 - x), и наоборот: если
в полукольце-с-замыканием x*(x + 1)* + 1 = 0, то мы имеем дело с телом, и операции тела можно восстановить: -a = a * (1 + 1)*, a^(-1) = (1 - a)*. Однако есть масса иных полуколец-с-замыканием: макс-плюс и мин-плюс алгебры (см. тропическая геометрия) образуют полукольца-с-замыканием (сами по себе тривиальные, но матрицы над ними образуют нетривиальные полукольца-с-замыканием), однако существуют и очень нетривиальные примеры полуколец с замыканием из разных компьютерных наук: конечные автоматы и регулярные выражения образуют такие полукольца (сложение = или, умножение = конкатенация, замыкание = звезда Клини), ну и ещё они возникают естественным образом при формализации релляционных алгебр.

Интересно подумать, что такое расширение полуполя-с-замыканием, можно ли с терминах чего-то вроде "каждая невырожденная матрица имеет собственный вектор", выделить класс замкнутых в определённом смысле полуполей-с-замыканием. На самом деле, в терминах полуполей-с-замыканием формализуются потенциально-бесконечные деревья (операция замыкания позволяет получить любые периодические бесконечные деревья) и я предполагаю, что расширения соответствуют введению все более хитрых паттернов периодичности (трехмерные квазикристалы являются проекциями нормальных кристаллов из высших размерностей), а замкнутые полуполя-с-замыканием допускают в каком-то смысле вообще любые паттерны.

Upd: У полуколец вообще бывают полиномиальные эндоморфизмы, не все из которых можно записать как многочлены на языке полуколец (из-за отсутствия вычитания и дробных коэффициентов), но можно на языке полей, расширяющих данное кольцо. Например, у полукольца натуральных чисел полиномиальными эндоморфизмами являются так называемые integer valued polynomials: a*(x # n) + b*(x # (n - 1)) + ... + c, где при помощи (x # n) обозначается биномиальный коэффициент. (По теореме Малера биномиальные коэффициенты также образуют алгебраический базис полиномиальных эндоморфизмов над кольцами p-адических целых чисел Z_p и ортонормальный банахов базис p-адических банаховых пространств непрерывных функций C(Z_p, Q_p).) В общем случае они называютяс numerical polynomials и я слышал, что они определяются как-то естественно для любых полуколец. Интересно, если потребовать для полукольца только чтобы были решения уравнений вида x = P(x), где P numerical polynomial, выйдет ли что-нибудь хорошее?..
Subscribe

  • (no subject)

    Встретил фотографию толпы футбольных фанатов, и она меня скорее напугала, у меня уж точно нет желания быть там среди них. Но внезапно я понял, что…

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 10 comments

  • (no subject)

    Встретил фотографию толпы футбольных фанатов, и она меня скорее напугала, у меня уж точно нет желания быть там среди них. Но внезапно я понял, что…

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…