Alexander Kuklev (akuklev) wrote,
Alexander Kuklev
akuklev

Categories:

Элементарное

Элементарными функциями называются функции, которые можно выразить, используя функции exp, log и сложение с целыми комплексными коэффициентами.

Давайте примеры приведём. Вот например умножение и деление элементарные функции? Конечно! Потому что
    a ⋅ b = exp(log(a) + log(b))
    a / b = exp(log(a) − log(b))
Значит все рациональные числа и все рациональные функции элементарны.

Если p элементарное число, то возведение в степень p тоже элементарно, потому как
    ap = exp(p ⋅ log(a))
Стало быть всякие элементарны квадратные корни и вообще выражения в радикалах.

Все тригонометрические функции элементарны потому что могут быть выражены через косинус cos(x) и обратный к нему arccos(x), а они в свою очередь вычисляются по формулам
    cos x = [exp(ix) + exp(-ix)]/2
    arccos x =
В том числе элементарно число пи = arccos(0), число e = exp(1) и числа, выразимые с использованием этих в том числе и этих констант в радикалах.

Казалось бы, такой огромный класс функций и чисел, замкнут относительно их произвольного комбинирования и даже дифференцирования. Чего же в нём не хватает?

1) В первую очередь, отсутствия обратных функций! К сложению есть (вычетание), к умножению (деление), к возведению в степень (корни и логарифмы) тут как тут, а вот к произвольной элементарной функции обратная как раз обычно не элементарна. Причём обратимость внутри класса элементарных перестает работать уже на самых простых функциях: многочленах.

Полиномиальное уравнение x5 + x = y в радикалах не решается, т.е. функция, обратная к f(x) = x5 + x, не является элементарной. Кстати, эта функция имеет специальное название: ультрарадикал пятой степени. Если её добавить к обычным квадратным и кубическим корням, то можно записать универсальную формулу для решения уравнений пятой степени. Гильберт поставил вопрос о существовании семейства таких алгебраических функций uradn(x) ("ультрарадикалов n-ной степени"), что в терминах радикалов и ультрарадикалов степеней не больше n можно записать универсальную формулу решения уравнений степени n. Увы, это не так (Shreeram Abhynkar, http://www.emis.de/journals/SC/1997/2/pdf/smf_sem-cong_2_1-11.pdf), с другой стороны это возможно используя гиперэллиптические тета-функции (http://www.math.leidenuniv.nl/~psh/CMpapers/Guardia.pdf).

Если, допустить, однако, более сложные уравнения, чем полиномиальные, то количество спецфункций, которые нужно подобавлять, чтобы всё решалось, совершенно взрывается. Хотя встречаются и классы уравнений, такие что для решения всех уравнений этого класса достаточно одной спецфункции. Например если взять функцию LambertW (обратная к f(x) = x⋅exp(x)), то экспоненциально-полиномиальные уравнения сводятся к полиномиальным.

2) Интегралы элементарных функций и решения дифференциальных уравнений в элементарных функциях часто неэлементарны. Для решения дифференциальных уравнений матфизики и всяких ценных в народном хозяйстве интегралов были придуманы широчееенные классы спецфункций: эллиптические и гипергеометрические. А для решения линейных дифференциальных уравнений с задержкой необходимо и достаточно дополнить элементарные функции и спецфункцией LambertW.

3) Сложение это итерированный инкремент, умножение — итерированное сложение, возведение в степень — итерированное умножение. Используя примитивно-рекурсивные определения можно ведь и дальше продолжать этот ряд: тетрация, квинтерация и так далее. Существуют и другие естественные и красивые примитивно-рекурсивные функции, возникающие естественно в теории чисел и теории сложности алгоритмов. Факториал хоть например. И про некоторые из этих функций известно, что они определяются не только для натуральных чисел: можно построить естественные голоморфные обобщения этих функций для всех комплексных чисел (для факториала это, например, знаменитая Г-функция). Так вот эти самые функции (не говоря уже об обратным им) нефига не элементарны. И тут откуда-то вылезает эта LambertW: через неё можно выразить аналоги корней для тетрации.

По поводу этой LambertW даже стали раздаваться голоса, не причислить ли её к лику элементарных функций. Уж больно много где возникает. Но по-моему, всё-таки зря раздаются, та же Г-функция возникает в сто раз чаще, а её элементарной никто считать не собирается.
Tags: математическое
Subscribe

  • (no subject)

    Встретил фотографию толпы футбольных фанатов, и она меня скорее напугала, у меня уж точно нет желания быть там среди них. Но внезапно я понял, что…

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 8 comments