Alexander Kuklev (akuklev) wrote,
Alexander Kuklev
akuklev

Category:

Гаусс говорил, что теория чисел царица математики.

Но чем, собственно, интересна теория чисел? — Мне кажется, тем, что это хорошо замаскированная теория символьных исчислений вообще.

Я человек программистский, как только в третьем классе мы начали оперировать символьными выражениями, меня занимало думать, что вычисления над выражениями тоже можно алгоритмизировать, как вычисления с натуральными числами алгоритмизируют вычислением в столбик. Лет в 14, когда я много читал о Gödel Numberings и вообще восхитился мысли кодирования символьных выражений числами с использованием простых чисел, и соответственно операций над выражениями через операции над числами с очень существенным использованием свойств простых чисел, делимости и т.д.

С тех пор я начал думать, что теория чисел это на самом деле хорошо завуалированная теория всевозможных символьных исчислений. Просто связи проявляются только если найти подходящее кодирование. Но мне тогда казалось, что кроме операций сложения и умножения нужно обязательно бесконечно много других операций, ведь нужно уметь кодировать сложные вещи. И только потом, узнав о результатах Матиясевича, что любые вычислимые символьные функции кодируются диофантовыми уравнениями (т.е. уравнениями в целых числах использующими только сложение и умножение), прояснилась картина, что всегда достаточно всего двух операций. Стало понятно, что одной симметричной операции не хватит (с одной операцией получаются только свободные синтаксические моноиды, да арифметика Пресбургера, которая разрешима, а стало быть тривиальна). А вот двух нетривиально сцепленных друг с другом операций хватает для нетривиальной теории, причём сложение и умножение на целых числах обладают универсальностью, на порождённую ими причудливую структуру, этот храм мультипликативно-аддитивных связей, держащийся на колонных простых чисел, можно отобразить любые другие синтаксические исчисления, а любые свойства последних выразить в на языке свойств простых чисел.

Наверное, когда нибудь теория чисел будет превращена в общую теорию синтаксических исчислений. И может быть решение загадки поля с одним элементом сыграет в этой истории не последнюю роль.
Subscribe

  • (no subject)

    Встретил фотографию толпы футбольных фанатов, и она меня скорее напугала, у меня уж точно нет желания быть там среди них. Но внезапно я понял, что…

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 8 comments