Alexander Kuklev (akuklev) wrote,
Alexander Kuklev
akuklev

Category:

Подробнее о гипотезе Бейтмана-Хорна

Теорема о распределении простых чисел говорит, что количество pi(x) простых чисел не больше х имеет следующее асимптотическое поведение:
pi(x) ~ Li(x),
где Li(x) это интеграл (1/ln x) от двойки до x.

Гипотеза Римана дополнительно устанавливает, что отклонения |pi(x) ~ Li(x)| распределены как масштабно-инвариантный шум и эквивалентна следующему усилению вышеуказанной асимптотики:
pi(x) = Li(x) + O(sqrt(x) * ln(x)).
(Причём константа при sqrt(x) * ln(x) точно известна, для x > 2657 она равна pi/8.)

* * *


Гипотеза Бейтмана-Хорна, буде она доказана, станет называться теоремой о взаимном расположении простых чисел. Т.е. она сообщает нам о том, как расположены пары, тройки и т.д. простых чисел.

Будем называть кортеж (пару, тройку и т.д.) чисел простой, если все входящие в неё числа простые. Будем называть мультипликативно-аддитивным генератором m-кортежей набор возрастающих рано или поздно многочленов f_i(n), где i принимает значения от 1 до m.
Соответственно, эта штука генерит кортежи (f_1(1),...,f_m(1)), (f_1(2),...,f_m(2)), ...

Гипотеза Бейтмана-Хорна состоит в том, что количество pi_f(x) простых кортежей среди всех кортежей f(n), где n не больше x, имеет следующее асимптотическое поведение:
pi(x) ~ с * Li_m(x),
где Li_m(x) это интеграл (1/ln x)^m от двойки до x, а константа с зависит только от произведения многочленов F(n) = Пf_i(n) определённым тривиальным образом. (Выражение в явном виде написано в Википедии, оно просто измеряет, какая доля результатов получается чётной, делящейся на три и т.д.; если все результаты делятся на какое-то число, то константа конечно же равна нулю.)

Гипотеза Римана и тут усиливает асимптотический результат до конкретного: гарантирует конекретные рамки возможных отклонений и устанавливает неотличимость распределения отклонений от случайного.

* * *


Единственным очевидным обобщением гипотезы Бейтмана-Хорна было бы снятие ограничения на мультипликативно-аддитивность генератора. Взять да и разрешить любые вычислимые генераторы. На первый взгляд кажется, что так не получится, потому что произвольные функции могут вести себя как угодно, нет гарантии что они асимптотически начнут вести себя как-то регулярно и стало быть возникнет регулярная зависимость между x и pi(x). Однако если насильственно потребовать, чтобы функции таки начинали ассимптотически вести себя регулярно (т.е. как многочлен какого-то трансфинитного порядка), то можно попробовать и тут вывести какой-то закон асимптотического поведения. Связующм мостиком (между аддитивно-мультипликативным миром простых чисел и общей вычислимостью) могли бы послужить результаты Матиясевича, связывающие напрямую общую вычислимость и диофантовы уравнения.
Subscribe

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…

  • 36

    Традиционный деньрожденный пост. Год выдался необычный. :)

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments