Alexander Kuklev (akuklev) wrote,
Alexander Kuklev
akuklev

Category:

Атака математиков

Распределение простых чисел — завораживающая штука. Есть по части простых чисел масса простых и понятных вопросов, ответы на которые ещё неизвестны. Один из таких вопросов был поставлен в первой половине 19ого века:
"Существует много простых чисел-близнецов, следующих через одно. Например, (5, 7), (17, 19), (41, 43). Правда ли что таких пар бесконечное количество?"

Кто и когда поставил этот вопрос достоверно неизвестно, но в публикации 1849 года описано его обобщение, а сам вопрос цитируется как уже известный. Прошло более 150 лет, а ответ на этот вопрос так и неизвестен. Что нужно делать, когда не можешь доказать гипотезы, и не знаешь с какой стороны подойти к решению? Кажетс Халмош говорил, что в этом случае следует поставить более слабую гипотезу и попытаться доказать её.

Как можно ослабить гипотезу о простых числах, следующих через одно? Например допустить более большую дыру между ними. Тогда гипотеза звучит так: "Существует бесконечное число пар простых чисел a и b, таких что a - b < H, где H некое фиксированное число. Эту гипотезу тоже лет сто никто доказать не мог, но совсем недавно, этой весной доказал Zhang Yitang. В апреле он сделал анонс доказательства, а 14ого мая вышла его статья. В ней он доказал эту гипотезу для H = 70000000 (70 миллионов). Подход оказался очень плодовитым, а статья добротной, так что другие математики тут же смогли начать пользоваться новыми методами. И уцепились они знатно, открылся проект Polymath8, в результате которого за месяц результат был уточнён в 1000 с лишним раз, на данный момент гипотеза доказана уже для H = 60744. Вот ведь молодцы!

Но главное, конечно, впереди. Вопрос о простых числах-соседях, он в общем-то праздный, сам по себе ответ на него не является каким-то мощным инструментом, углубляющим наше понимание простых чисел и позволяющим с его помощью решать новые классы задач. Таким инструментом является глубокое обобщение этого результата — гипотеза Бейтмана-Хорна (http://en.wikipedia.org/wiki/Bateman%E2%80%93Horn_conjecture), которая является обобщением теоремы о распределении простых чисел и включает гипотезу о простых числах-соседях как малюсенький частный случай. Говоря очень неформальным языком, она сообщает нам, что простые числа распределены псевдослучайно в очень общем смысле: если рассматривать не отдельные простые числа, а их пары, тройки и т.д., то в их распределениях асимптотически отсутствуют какие-либо корреляции конечного порядка, кроме хорошо известных тривиальных корреляций, изученных методами элементарной теории делимости ещё во времена Дирихле. В конечномы итоге доказательство этой гипотезы позволило бы превратить в контексте многих задач в строгое доказательство один неформальный эвристический инструмент (Cramér–Granville heuristic), уже много десятилетий неизменно дающий правильные ответы на сложные вопросы по поводу простых чисел.

Вкупе с обобщенной гипотезой Римана (являющейся в том числе инструментом для превращения асимптотических результатов в сильные), это, видимо, должно давать способ превращать эвристические обоснования таких гипотез, как, например, гипотеза Гольдбаха, в строгие доказательства.
Subscribe

  • (no subject)

    Встретил фотографию толпы футбольных фанатов, и она меня скорее напугала, у меня уж точно нет желания быть там среди них. Но внезапно я понял, что…

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 19 comments

  • (no subject)

    Встретил фотографию толпы футбольных фанатов, и она меня скорее напугала, у меня уж точно нет желания быть там среди них. Но внезапно я понял, что…

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…