Alexander Kuklev (akuklev) wrote,
Alexander Kuklev
akuklev

Category:
Тут avva посоветовал книжку по квантовой механике, я её бегло проглядел и она мне (кроме последней отвлечённой главы*) очень понравилась. И сразу захотелось рассказать, как бы мне хотелось организовать курс квантов, основываясь на опыте преподавания последних нескольких лет.
(* Не хочу сказать, что последняя глава чем-то плохая — об этом мне судить сложно, я не философ. Я хочу сказать, что мне не кажется разумным включать её в текст книги о квантовой механике, она там мешает.)

Курс QM моей мечты во многом перекликался бы с этой книгой.

Огромной проблемой нынешнего преподавания квантовой теории является смешивания в одну кашу двух разных вещей:
– (Полностью детерминистской) теории уравнения Шрёдингера, из которого выводятся теории атома водорода, частицы в ящике, гармонического осциллятора и прочих классических систем, вводится операторный формализм и вычисляются всякие разные наблюдаемые числа и их особенности: спектры атомов, тонкая структура, спин-орбитальное взаимодействие и т.д.
– (Вероятностной) феноменологии квантовой теории — квантовой теории измерений, изменений и взаимодействий, разных там котов Шрёдингера и друзей Вигнера, EPR-парадокса и неравенств Белла, которые не имеют никакого отношения к уравнению Шрёдингера.

Моя идея курса состояла бы в том, чтобы радикально расцепить эти вещи. Я бы начал преподавание со второй.

== Феноменология микроскопических измерений, изменений и взаимодействий ==
Людям, знакомым с программированием, удивительные особенности микромира проще всего объяснять на аналогиях из мира информатики. Микроскопические частицы обладают внутренним состоянием, их удобно моделлировать в терминах объектно-ориентированного программирования. Состояние “инкапсулировано”, т.е. не видно снаружи, его можно считывать или изменять только методами, определёнными в интерфейсе объекта. В микромире у объектов есть setter'ы, но нет полноценных getter'ов, информацию “сохранённую” в состояние частицы можно извлечь назад лишь частично.

Электроны — точечные элементарные частицы. Они обладают параметром — магнитным моментом, который можно представить себе как стрелочку, показывающую в каком-нибудь направлении. При помощи аппарата Штерна-Герлаха с фильтром мы можем изготавливать электроны с любым желаемым направлением магнитного момента. Это наш setter.

Аппаратом Штерна-Герлаха можно не только создавать электроны с заданным направлением магнитного момента, но и “грубо” измерять магнитный момент электрона: если взять электрон и провести его через аппарат Штерна-Герлаха (с магнитом, разделяющим вдоль какой-нибудь оси z), он отклонится либо влево, либо вправо. Если исходно направление магнитного момента электрона было ближе к +z, он с большой вероятностью отклониться влево, если ближе к -z — вправо. Измерение аппаратом Штерна-Герлаха изменяет исходный магнитный момент электрона, как бы загоняет его в прокрустово ложе возможных результатов измерения, т.е. Делает равным либо +z, либо -z.

Выясняется, что не существует способа измерить магнитный момент электрона менее грубо! Любой возможный измерительный прибор имеет фиксированную ось измерения z и “загоняет” магнитный момент в одно из значений {+z, -z}. Вот как выглядит “интерфейс электрона“:
class Electron {
  private var Direction magneticMoment
  def set(m: Direction)
  def getAlongAxis(z: Direction): {+z, -z}
}


> Истинная случайность
Если сделать электрон с магнитным моментом, смотрящим вдоль некой оси y, а потом произвести аппаратам Штерна-Герлаха измерение магнитнго момента вдоль перпендикулярной оси z, то результат будет +z или -z с вероятностью 50/50. Причём, какой именно результат выпадет — истино случайная вещь.

То есть никакие дополнительные знания об электроне не позволяют предугадать, какой результат выпадет. Дело в том, что кроме этого магнитного момента, электроны никакими параметрами не обладают, т.е. Два электрона с одинаковыми магнитными моментами совпадают во всех физических свойствах.

Откуда мы это знаем? Мы знаем это в частности благодаря свойству Паули. Частицы материи (такие как электроны) обладают тем свойством, что две частицы, совпадающие по всем параметрам, не могут находиться в одной точке пространства. И экспериментальный факт в том, что два электрона с одинаковыми магнитными моментами в одной точке пространства находиться не могут, именно благодаря свойству Паули. Если бы у них были ещё какие-то скрытые параметры, это позволило бы нескольким электронам с совпадающими магнитными моментами (но различными в остальных свойствах) занимать одно и то же место.

Вот как выглядит более полное описание класса Электрон:
class Electron {
  private var Direction m
  def getAlongAxis(z: Direction): {+z, -z} = {
    m = selectRandomly(
      Probability( cos(angle(m,+z)/2)^2 ) => +z
      Probability( cos(angle(m,-z)/2)^2 ) => -z
    )
    return m
  }
}


> Повторяемость и необратимость
Обратите внимание, что getter изменяет состояние так, что повторный вызов getter'а вдоль той же оси всегда будет выдавать тот же результат — измерение обладает достоверной повторяемостью.

В микромире достоверные измерения извлекают лишь часть информации и необратимо разрушают остальную часть.

(Для сложных систем можно организовать измерения, где можно тонко выбирать баланс между достоверностью и необратимостью.)

> Соотношение неопределённостей и квантовая статистическая механика
В статистической механике рассматривают ситуацию, когда у части параметров системы неизвестно точное значение, вместо него известно вероятностное распределение, что параметр имеет то или иное значение. С точки зрения привычной нам классической физики, необходимость в рассмотрении вероятностей возникает только из-за неполноты информации.

Особенности микромира меняют положение вещей: даже если мы точно знаем магнитный момент данного электрона, для таких наблюдаемых как “результат измерения магнитного момента вдоль оси z”, у нас имеется лишь вероятностное распределение, если только z не лежит на одной прямой с магнитным моментом. (Тут вывод соотношения неопределённостей для перпендикулярных осей измерения.)

Неожиданным образом, квантовая природа электрона упрощает статистико-механическое описание. Если бы магнитный момент можно было точно недеструктивно измерять, распределение вероятности магнитного момента описывалось бы функцией на сфере — бесконечным числом действительных чисел. Из-за того что такое измерение невозможно, большая часть таких распределений становятся неотличимыми. Отметим, что после произведения первого же измерения, вся информация о том, каково было распределение до измерения, будет утеряна. Таким образом мы можем извлечь из распределения лишь ту информацию, которая извлекабельна при первом измерении. Предположим, р: S^2 -> R нормированная функция плотности вероятности магнитного момента. Посмотрим чему равно распределение измерения магнитного момента вдоль произвольной оси z. (проинтегрируем) Таким образом выходит, что вся извлекабельная из распределения информация характеризуется тремя действительными числами (вместо бесконечного числа таковых в классическом случае).

В системах с конечным числом степеней свободы квантовая версия статистической механики всегда значительно проще классической.

> Кинематика магнитного момента — линейность изменений
Выясняется, что методы вроде e.set, e.get(z) или даже e.evolve(10s, env) /метод, описывающий изменение внутреннего состояния электрона за 10 секунд под воздействием внешних условий env/ не могут менять состояние произвольным образом, правила по которым может меняться состояние очень ограничительны.

Утверждение I. Состояние можно представить в виде вектора в абстрактном линейном пространстве так, что все изменения состояния выражаются линейными преобразованиями.

Это утверждение не является следствием каких-то более общих принципов, это природная закономерность, обнаруженная при помощи наблюдений: это верно для всех известных элементарных частиц и многокомпонентных систем, составленных из них — таким образом это должно быть верно вообще для любых систем.

(Тут описывается, как описывать трёхмерный единичный вектор Direction через двумерный комплексный спинор, описывается эволюция под воздействием внешнего магнитного поля evolve(t, env), и воздействие геттеров вдоль осей. Описывается, что setter (аппарат Штерна-Герлаха с фильтром) описывается проектором и является фильтрующей операцией, т.е. не все электроны, входящие в этот чёрный ящик, выходят из него.)

Утверждение II. Линейное пространство состояний можно снабдить нормой так, что для фильтрующих операций F вероятность прохождения частицы в состоянии s сквозь фильтр равна (||Fs||/||s||)^2, иными словами фильтрация уменьшает норму в соответствии с вероятностью фильтрации.

Это утверждение тоже вытекает из наблюдений, а не общих соображений. Вместе с утверждением I оно образует аксиоматический костяк квантовой теории.

> Модель предсказывает больше чем в неё заложено: Эффект Ааронова-Бома

> Ещё пример: кинематика поляризации фотона

> Исчисление превращений и амплитуды вероятности
Применение методов к частице можно обозначать графически:
Методы возвращающие Unit это чёрные ящики с одним входом и одним выходом. Если возвращается несколько разных типов значений, это ящик с ветвлением — несколькими выходами. Каждому выходу ящика соответствует линейное преобразование. Ящики можно комбинировать — присоединять к выходам одних входы других. Вдоль одного пути линейные преобразования перемножаются. Можно соединять пути, при этом линейные преобразования складываются. Получается моноидальная категория с доп.операцией соединения путей, категория Дирака.

(Тут я бы ввёл графические обозначения из Kindergarden Quantum mechanics, или соотв. главы 4.)

(Потом рассказал бы, что про поляризацию операторов и сведение всех вычислений к сложению и умножению амплитуд вероятности.)

> Диаграмы Фейнмана и точечные взаимодействия
(Берём диаграмы из примера выше, и заменяем прямые, соединяющие аппараты, вызовами e.evolve(path). Рассказ про пропагаторы. Выведение результата опыта с двойной щелью и прочих вещей про интерференцию. Рассказ про вершины и демонстрация рассчёта рассеяния фотона на электроне без глубоких объяснений. Отсылка к курсам физики элементарных частиц и КТП как источникам подробной информации.)

> Матрицы плотности и неотделимость фундаментальной и казуальной неполноты информации
(Рассказ о матрицах плотности и пространное замечание про идеальный газ в ящике, где львиная доля неполноты информации именно что не от того что мы мало измерили, а по фундаментальным причинам.)

Со статистикомеханической точки зрения, целое больше чем отдельные компоненты: система из 8 бит имеет 256 состояний, соответственно вероятностное распределение значений оной задаётся 255 действительными числами, тогда как вероятностное распределение 8 независимых бит задаётся восемью. Дело тут в том, что распределение из 255 чисел содержит всю информацию о взаимных зависимостях (вроде “если первый бит единица, то второй обязательно ноль”) и корреляциях.

После взаимодействия двух изначально независимых систем, системы обычно перестают быть независимыми. Возьмём например два независимых бита с распределениями 50/50 и применим аппарат, который инвертирует второй бит, если оба бита имеют значение 1. Теперь они не независимы, их распределение имеет следующий вид: (00: 25%, 01: 25%, 10: 50%, 11: 0%). Две изначально независимые системы начинают быть сцепленными.

Т.к. у квантовых систем неопределённость ряда наблюдаемых имеется даже при полной информации, даже при полном контроле над ситуацией, с момента контакта независимые изначально квантовые системы образуют составную систему, и состояние её подсистем невозможно более описать в отрыве от системы в целом.

> Система из нескольких электронов-кубитов: квантовый компьютер
Тут я бы рассказал про два электрона (кубита) в ловушках и про то, как мы можем применять к любым парам электронов QGates, синхронно или контрофазно меняющие их состояния.

Соответственно что наличие линейных QGates показывает, что сложная система из нескольких электронов имеет целостное состояние-вектор, а из возможности независимо воздействовать на отдельные электроны следует, что целостное состояние является тензорным произведением отдельных.

> Математические понятия квантовой теории

> Квантовая спутанность на службе сил добра
(Тут я бы рассказал про квантовые алгоритмы, начиная с поиска и до алгоритма Шора)

> EPR-парадокс и неравенства Белла; отсутствие скрытых параметров

> Теорема о клонировании, квантовая криптография, квантовая телепортация, протоколы квантовой коммуникации


Вот такой был бы семестровый курс, после которого, можно уже семестр и об уравнении Шрёдингера поговорить.
Subscribe

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…

  • 36

    Традиционный деньрожденный пост. Год выдался необычный. :)

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 21 comments

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…

  • 36

    Традиционный деньрожденный пост. Год выдался необычный. :)