Alexander Kuklev (akuklev) wrote,
Alexander Kuklev
akuklev

Category:

Математическое / сорта функций

Пусть X и Y подпространства двух конечномерных многобразий.

Непрерывные
Все тотально-вычислимые функции X ⇒ Y являются непрерывными.
Множество непрерывных функций на X ⇒ Y больше, однако всё ещё счётно и их, как известно, сколь угодно хорошо аппроксимируются многочленами с рациональными коэффициентами. Все непрервыные функции являются пределом последовательности Г-вычислимых, какие бы координаты мы не выбрали.

Прим: В удачных координатах нужные на практике непрерывные функции обычно оказываются аналитическими с вычислимым разложением, а такие функции сразу являются Г-вычислимыми функциями, что позволяет производить вычисления произвольной точности на практике.

Кусочно непрерывные
Функция f: X ⇒ Y называется кусочно-непрерывной если для каждого компакта в X существует разбиение на конечно число дизьюнктных открытых множеств Ui и остаточную часть с пустой внутренностью, такое, что ограничения X на каждое из Ui является непрерывной функцией. Для функций на действительной прямой это обозначает, что на каждом отрезке функция имеет лишь конечное число разрывов. Таких функций тоже счётное количество и они могут быть аппроксимированы последовательностью почти всегда вычислимых функций, (невычислимых в точности если аргумент точно попал в точку разрыва).

Прим: В удачных координатах нужные функции обычно оказываются кусочно-аналитическими с вычислимым разложением и разрывами в вычислимых точках, такие функции сразу являются почти всегда вычислимыми функциями, что позволяет производить вычисления произвольной точности на практике.

Измеримые
Любые определимые без помощи аксиомы выбора функции X ⇒ Y измеримы.
Измеримых функций X ⇒ Y тоже счётное количество и, по теореме Лузина, они представляются в виде пределов последовательностей непрерывных функций на компактах X. Соответственно в терминах вычислимых функций измеримые аппроксимируются последовательностями частично-вычислимых функций X ⇒ Y. На практике такое приближение невозможно использовать в вычислительных целях, однако оно позволяет определить множество измеримых функций в конструктивистскийх теориях типов.

Любые
Наконец, трансфинитными последовательностями измеримых (или, соответственно, частично вычислимых) функций аппроксимируюстся все возможные функции X ⇒ Y.

Теперь вопрос: если не ограничиваться подпространствами многообразий, для каких максимально общих пространств X и Y обрисованые выше отношения вычислимости и топопаталогичности остаются верными?
Subscribe

  • (no subject)

    Встретил фотографию толпы футбольных фанатов, и она меня скорее напугала, у меня уж точно нет желания быть там среди них. Но внезапно я понял, что…

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 2 comments