Alexander Kuklev (akuklev) wrote,
Alexander Kuklev
akuklev

Упражнения

Порядок на множестве и топология на множестве это родственные структуры. Линейный порядок на действительной прямой равно как частичный (причинный) порядок на гиперболическом пространстве-времени времени задают обычные топологии для этих пространств. Действительную прямую с точностью до гомеоморфизма можно охарактеризовать как пространство, которое можно снабдить непрерывным ω-полным линейным порядком.

Только вот неаккуратненько, с точки зрения порядка возникает неканоничность: прямую можно ориентировать в двумя способами.

А можно ли вычленить информацию, содержащуюся в структуре порядка, кроме ориентации?
Можно! Вместо того, чтобы вводить соотношение “>” введём тернарное соотношение “между”. Для удобство обозначений я лучше буду оперировать не тернарным соотношением, а оператором a:b, который для каждых двух точек находит отрезок, между ними заключённый. Потребуем от этой штуки следующих свойств:
1. a:a = {a}
2. a:b = b:a
3. a:b не пусто => a ∈ a:b
4. c ∈ a:b => a:c ⊂ a:b
Если дополнительно верно, что для любых a:b не пусто для любых a и b, будем называть интервальную структуру линейной.

Ориентация интервальной структуре это такая функция end сопоставляющая каждому из интервалов один из его концов, согласованным образом. Иначе говоря от ориентации мы требуем следующих свойств:
1. end(a:b) = a или end(a:b) = b
2. [end(a:b) = b ⋀ c ∈ a:b] ⇔ [end(a:c) = c ⋀ end(c:b) = b]

Сейчас я покажу, эквивалентность порядка и комбинации интервальная структура + ориентация, а так же, что линейность порядка эквивалентна линейность интервальной структуры.

Порядок -> Интервальная структура + ориентация
Для частично-упорядоченного множества (S,≤) зададим
a:b = {x ∈ S | a ≤ x ⋀ x ≤ b} ⋃ {x ∈ S | b ≤ x ⋀ x ≤ a}.

Покажем, что это в самом деле частичный порядок:
1. Рассмотрим a:a = {x ∈ S | a ≤ x ⋀ x ≤ a}. По аксиоме рефлексивности частичных порядков это множество содержит по меньшей мере a, по аксиоме асимметричности, не содержит ничего кроме a.
2. Верно благодаря коммутативности ⋃.
3. Из непустоты a:b следует, что верно либо a ≤ b, либо b ≤ a. Без ограничения общности примем первое и убедится, что a ∈ {x ∈ S | a ≤ x ⋀ x ≤ b}, т.к. a ≤ a верно благодаря рефлексивности порядка, а a ≤ x по допущению выше.
4. c ∈ a:b => a:b не пусто, так что без ограничения общности можно принять a ≤ b и соответственно (a ≤ c ⋀ c ≤ b). Нам нужно доказать, что любой элемент a:c = {x ∈ S | a ≤ x ⋀ x ≤ c} также является элементом a:b = {x ∈ S | a ≤ x ⋀ x ≤ b}. Первые условия (a ≤ x) просто совпадают, а x ≤ b следует из x ≤ c по транзитивности порядка благодяря установленному выше c ≤ b.

Как уже было отмечено в пункте 3, непустота a:b эквивалентна (a ≤ b ⋁ b ≤ a), так что интервальная структура линейна тогда и только тогда, когда линеен порядок, из которого она была изготовлена.

Теперь покажем, что end(a:b) = max(a, b) задаёт ориентацию этой интервальной структуры. Первое условие выполнено тривиально, второе требует некоторой аккуратности. Условие [end(a:b) = b ⋀ c ∈ a:b] означает в точности, что a ≤ c, c ≤ b, как и [end(a:c) = c ⋀ end(c:b) = b].

Интервальная структура + ориентация -> Порядок
Если у нас задана интервальная структура и ориентация, положим
a ≤ b ⇔ end(a:b) = b

Покажем, что это соотноешение задаёт частичный порядок.
Рефлексивность:
a ≤ a ⇔ end(a:a) = a, что тривиально верно, т.е. a:a = {a}
Антисимметричность:
a ≤ b ⋀ b ≤ a ⇔ a = end(a:b) = b ⇔ a = b
Транзитивность:
a ≤ c ⋀ c ≤ b ⇒ end(a:c) = c ⋀ end(c:b) = b ⇒2 end(a:b) = b ⋀ c ∈ a:b ⇒ a ≤ b

QED

Вопросы:
– Для лоренцевых многообразий с замкнутыми временными кривыми нельзя ввести порядок, но для них можно ввести неориентируемую интервальную структуру, там у каждой точки всё-равно есть конус прошлого и конус будущего и интервал можно задать как a:b = (↑a ∩ ↓b) ⋃ (↓a ∩ ↑b). Будет ли интервальная топология топологией многообразия?
– На таких лоренцевых многообразиях причинность не задаёт глобального порядка, но задаёт его локально, как это сформулировать на нашем языке?
– Напрашивается аналогия с гомотопическими конструкциями — обобщение на случаи вроде окружности, где отрезков между каждой парой точек {a, b} два и опять же нет глобальной ориентации, зато две локальных (по и против часовой).

Примечание certus: Если разбить множество с интервальной структурой на независимые связные куски, то в каждой компоненте связности ориентация вполне определяется направлением одного интервала.

В самом деле, если известно, что end(a:b) = b, то также известно, что любой интервал b ∈ a:x, кончается в x, а любой интервал a ∈ x:b кончается в b, продолжая по этой схеме дальше итеративно мы в конечном итоге снабдим порядком компонент связности.

Игры в гомотопию
Развитие в гомотопическую сторону приводит к чему-то вроде группоида, только с нетотальной композицией. Объекты «недогруппоида»* будут точки нашего пространства, для каждой пары точек будет задано множество A↔B = B↔A отрезков, соединяющих A и B. Потребуем существования тривиального отезка id(A) ∈ A↔A для каждого объекта, это выполнит требование 1. Положим, что для некоторых p ∈ A↔C и q ∈ C↔B существует их композиция pq ∈ A↔B. Будем говорить, что отрезок x ∈ A↔B пролегает через точку С тогда и только тогда, когда он разбивается на p ∈ A↔C и q ∈ C↔B. (Отметим, что объекты A↔B и B↔A в группоидах принято различать, в нашем случае это не нужно, потому что для всех x: A↔A верно x-1 = x.)

Если предположить, что в каждом A↔B содержится не более одного элемента, мы получаем, кажется, в точности интервальную структуру, определённую выше. (Точное доказательство сделаю позже.) С другой стороны, это позволяет разумно учесть случаи типа окружности и более разумно учесть случаи замкнутых временных кривых. Но главное, автоматически решается вопрос с тем, как задавать порядок: на каждую компоненту связности достаточно задать для одного нетривиального (в смысле, с несовпадающими концами) отрезка направление.

(Вдыхает) Вообще это как-то больше не гомотопию, а гомологию напоминает.
Но впрочем, цель упражнения достигнута, что получится, если от соотношения порядка отнять глобальную ориентацию ясно: получится чуточку обобщённая алгебраическая топология.

(Обобщение возникает засчёт того, что это можно обобщить на штуки вроде лоренцева многообразия, где вместо линейных путей у нас алмазики, и кроме алгебротопологической информации кодируется информация о причинной зависимости/независимости точек. Интервальная структура даёт кроме хаусдорфовой интервальной на самом пространстве ещё (в общем случае нехаусдорфову) топологию Скотта на множестве пар своих точек , и Скотт-непрерывные метрики в точности таковы, что расстояние между причинно-независимыми точками нулевое.)

_____
* Для совместимости с обычной группоидной структурой, можно ввести выделенные элементы ⊥ ∈ A↔B (не более одного на hom-set), и использовать их как признак того, что интервалы не стыкуются. Т.е. если p ∈ A↔C и q ∈ C↔B не стыкуются, то pq = ⊥ ∈ A↔B. Удобно использовать ⊥ ∈ A↔B как признак того, что два элемента (даже если интервала между ними не существует), находятся в одной компоненте связности. Для этого нужно положить, что если существует ⊥ ∈ A↔B, то должна существовать цепь x1, x2,..,xn не равных ⊥, таких что x1x2...xn = ⊥ ∈ A↔B. Тогда всякое A↔B будет непустым тогда и только тогда, когда A и B относятся к одной компоненте связности.
Subscribe

  • (no subject)

    Встретил фотографию толпы футбольных фанатов, и она меня скорее напугала, у меня уж точно нет желания быть там среди них. Но внезапно я понял, что…

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 8 comments