Alexander Kuklev (akuklev) wrote,
Alexander Kuklev
akuklev

Category:

CFT

Меня часто спрашивают откуда фундаментально-физический интерес к конформным квантовым теориям поля. Ща объясню.

Квантовая физика говорит нам, что разные штуки могут до момента наблюдения находятся в смешанном состоянии типа «30% вероятности что красный, 70% что синий». Или «в точке Х магнитное поле 50% что 5 Тесла, 50%, что 15 тесла». Последнее ни в коем случае не означает, что там магнитное поле равняется среднему арифметическому = 10 Тесла, как раз наоборот. При конечном измерении мы там 10 Тесла никогда в жизни не найдём! Прибор покажет либо 5, либо 15, ничего в промежутке не покажет.

Так вот. Кроме электромагнитного поля ещё есть гравитационное, которое тоже должно быть квантовым. То есть иметь возможность пребывать в таких вот смешанных состояниях. Последние лет 70 физики упорно пытаются создать квантовую терию гравитации.

Проблема в том, что гравитационное поле согласно общей теории относительности определяет в т.ч. причинный порядок событий, то есть не зная конфигурации гравитационного поля, нельзя сказать, может ли событие Х быть последствием события Y. В квантовом случае возможны смешанные состояния, скажем «с вероятностью 30% у нас X в будущем относительно Y, ещё 30% — X в прошлом относительно Y, а остальное на то, что они вообще пространственноподобно разделены». Это не только вычислительно хрень! Это ещё и не поддаётся какой-то осмысленной интерпретации.

Поэтому родилась гипотеза, что может быть причинная структура пространства-времени жёсткая. А квантовые состояния гравитационного поля они обязательно содержат только комбинации, причинно совместимые с ней. Т.е. чтобы какой вариант не возьми, любые X и Y будут находиться с точки зрения причинного порядка в одинаковом отношении.

Причинную структуру пространства времени можно довольно элегантно вычленить. В глобально-гиперболических пространство-временах существует глобально-заданное соотношение причинного порядка, и это отношение бисвязно и порождает обыкновенную топологию пространства-времени как свою интервальную топологию.[1] То есть можно определить пространство-время время как bicontinious poset, который как топологическое простнанство — связное четырёхмерное топологическое многообразие. В этом случае причинная структура также определяет каноническую дифференциальную структуру.

Лоренцевыми метриками, уважающими=порождающими причинную структуру, являются в точности все возможные Скотт-непрерывные метрики. Те из них, что дифференцируемы за исключением, возможно, конечного числа точек на каждом компакте, порождаются одной и только одной конфигурацией гравитационного поля на данном пространстве времени. Две метрики, порождающие одну и ту же причинную структуру, связаны между собой дифференцируемым конформным изоморфизмом.[2]

[1] = “Domain theory and general relativity”, Keye Martin, Prakash Panangaden
[2] = “The class of continuous timelike curves determines the topology of spacetime”, David B. Malament

Теперь, когда я объяснил, откуда берётся вообще слово «конформный» в этом контексте, можно рассказывать о конкретных мотивациях.
1. Суперотбор
Чтобы сделать квантовую гравитацию причинно-интерпретируемой, нам нужно каким-то образом получить правило суперотбора, гарантирующее, что в одном секторе суперотбора остаются только конфигурации гравитационного поля, связанные конформным изоморфизмом. Это означает как раз, что квантовые состояния гравитационного поля должны состоять только из причинно-совместимых конфигураций. Чтобы понять, откуда такие правила суперотбора могут вытекать, очень полезно понять, как работают квантовые варианты простых конформно-инвариантных теорий поля, вроде Зайберга-Ўиттена.
2. Эволюция глобального состояния
В нерелятивистской квантовой механике с глобальным временем в каждый момент времени существует состояние ψ(t), а эволюция задаётся семейством линейных операторов U(t1, t2), таких что ψ(t2) = U(t1, t2)ψ(t1). Если система инвариантна по времени (а замкнутая вселенная должна быть такова), то U зависит только от разности t2-t1.

В общерелятивистской квантовой механике глобального времени нет, а глобальное состояние ψ(S) сопоставляются пространственноподобным сечениям S пространствавремени. Посчитать ψ(S2) из ψ(S1) должно быть возможно, если сечения S1 и S2 ограничивают компактный причинный сегмент пространста-времени, U(S1, S2) должен быть линейным оператором, зависящим только от свойств этого самого сегмента. Причём от каких? Только от конформно-инвариантных, потому что все остальные зависят от конкретной конфигурации гравитационного поля, а у нас их может быть смесь. Например то, куда прилетят в S2 фотоны, выпущенные в S1 — это инвариант, на это можно полагаться. А вот каков интервал (“сколько времени”) между точкой в S1 и точкой в S2 — это зависит от конкретной конфигурации гравполя, это мы знать не можем. Получается, что теория, дающая эту эволюцию, должна быть конформно-инвариантной КТП, вот собственно и главная мотивация.

3) Относительная/локальная эволюция
Даже если окажется, что глобальное состояние для целого сечения определить нельзя (в их существовании есть некоторые сомнения, особенно континуум на микроскопическом уровне как-то “ломается”), и представление Шрёдингера фундаментально исключено, то представление Гейзенберга т.е. локальная эволюция наблюдаемых должна быть в любом случае: хоть там спиновая пена на микроуровне, хоть некоммутативщина, хоть причинные множества, на coarse grained уровне должно получаться обычное пространство-время с локальными наблюдаемыми и классической динамикой, потому что это то, что мы всю историю физики на coarse-grained уровне наблюдаем.

Пока гравитация=геометрия рассматривается как статическое поле, остальные наблюдаемые должны быть изометрически коварианты. Но если гравитация-геометрия становится динамической, вписанной в этот фреймворк, все абсолютные наблюдаемые должны быть уже конформно ковариантны. Отюда интерес к конформно-ковариантным AQFT.

Добавка
Откуда вера в то, что причинность это что-то фундаментальное? Может быть нужно отказаться от этой идеи и искать интерпретации физике без причинности?

Кроме всего прочего есть очень важная причина: экспериментально мы наблюдаем, что время течёт.
Вспомните, что я выше говорил: если допустимо представление Шрёдингера, то подходящим сечениям пространства должно быть возможно сопоставить гильбертово пространство состояний, а эволюция от одного сейчения до другого должна задаваться линейным отображением U(S1, S2), зависящим только от сегмента S1:S2.
Если забыть о конформной структуре, то остаётся только дифференциально-топологическая структура, а с точки зрения такой структуры два любых сегмента пространства Минковского между двумы любыми сечениями неразличимы, то есть в пространстве Минковского время течь не должно.*

Добавка для некоммутативщиков
Альтернатива состоит в том, что может быть правильная теория всего вообще не допускает представления Шрёдингера.

Есть такие (по крайней мере на классическом уровне, по крайней мере в римановой сигнатуре) нетривиальные и в топологически-тривиальном случае диффеоморфно-инвариантные теории поля, тут я говорю в первую очередь о некоммутативной стандартной модели Конна-Хамседина.

Но путёвка в жизнь для любой микроскопической теории всего — проработанный классический предел, в результате которого из микроскопической теории (сколь-угодно извращённой) на макроуровне как-то получается квазиклассика с причинностью, обыкновенным пространством, классическими уравнениями Эйнштейна, и т.д.

Вполне может быть, что прямолинейной лоренцевой формулировки для этой теории не существует, равно как нет для неё представления Шрёдингера. Но есть алгебра наблюдаемых, и так или иначе (например исходя из гипотезы термального времени) должно быть возможно получить на этой алгебре поток автоморфизмов, соответствующий времени, потому что мы его наблюдаем. И по крайней мере в рамках определённого однородного сектора наблюдаемых этот поток должен быть геометрическим, т.е. наблюдаемые, ассоциированные с компактами, будут потоком переноситься в наблюдаемые, ассоциированные с другим компактом, более “поздним во времени”. Так тоже должно случиться потому, что на практике мы именно это наблюдаем. Из геометрической составляющей потока извлечётся причинная структура на коммутативной составляющей подлежащего пространства. И тут останется понять, как при переходе на классический уровень она вызывает поворот Вика метрики и получить в классическом пределе уравнения Эйнштейна и стандартную модель с правильной сигнатурой. Кроме там как-то должно хотя бы на coarse-grained уровне возникнуть правило конформного суперотбора, выделяющее те самые сектора состояний, для которых временной поток геометричен.

______
* Время могло бы течь дискретно в гипотетической вселенной, полной топологическими или дифференциальными сингулярностями, которые мы периодически переступаем. Это, конечно, тоже может такое быть, но это уже противоречит (или по крайней мере на много уровней отстоит от) ОТО и СМ, а за них хочется держаться, они железобетонно проверены экспериментально.
Subscribe

  • (no subject)

    Встретил фотографию толпы футбольных фанатов, и она меня скорее напугала, у меня уж точно нет желания быть там среди них. Но внезапно я понял, что…

  • Прогресс

    Десять дней назад, вторая ступень SpaceX'овского корабля Starship своим ходом слетала своим ходом на десять километров вверх, и усмепшно приземлилась…

  • О водосбережении

    Как известно, питьевая вода во многих странах дефицитный ресурс. И даже в дождливой Германии летом иногда случаются засухи, в результате которых она…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 4 comments